Factorisation 4-3
Vocabulaire
Les éléments d’une addition se nomment les termes.
Les éléments d’une multiplication se nomment les facteurs
Ceci est une addition de 3 termes.
Ci contre on a un terme de l’addition constitué d’un produit de deux facteurs 5 et x3 car on multiplie 5 et x3.
Il en en de même du terme 15x2 qui est aussi un produit des facteurs 15 et x2.
Il en en de même du terme 10x qui est aussi un produit des facteurs 10 et x.
Ci contre, un produit de deux facteurs puisqu’on peut écrire (2x-5)X(-x+3).
Le premier facteur est (2x-5).
Le second facteur est (-x+3).
Le premier facteur (2x-5) est constitué de deux termes 2x et -5 d’une addition.Le premier terme de l’addition étant constitué de deux facteurs 2 et x.
Le second facteut (-x+3) est constitué simplement de deux termes d’une addition -x et 3.
Bien se souvenir :
Termes d’une addition (somme) ,
Facteurs d’une multiplication (produit).
Factoriser c’est remplacer une suite d’addition de termes par une suite de produits de facteurs.
Factorisation 1
On recherche dans cette suite d’addition s’il existe des facteurs communs, des nombres ou des lettres qu’on trouve dans chaque terme.
5, 15 et 10 sont tous divisibles par 5. Donc 5 est un facteur commun.
Tous les termes ont x en commun. Donc x est un facteur commun.
5x est donc le facteur commun à tous les termes de cette addition.
On p extrait 5x que l’on place devant une parenthèse. Ce 5x, devant la parenthèse multipliera tous les termes qui seront dans la parenthèse. Donc pour garder la même valeur, il faudra diviser tous les termes par 5x.
Ensuite on simplifie chacun des termes entre parenthèse comme indiqué ci contre.
Et on obtient un produit de deux facteurs :
5x et x²+3x-2
Il faut s’entraîner beaucoup pour que tous ces calculs se fassent de tête et automatiquement avec sa propre technique sans trop réfléchir.
Factorisation 2
Un peu plus compliqué.
On repère en les soulignant les facteurs communs.
On extrait ce facteur commun qu’on place devant des crochets. On écrit tous les termes entre crochet en les divisant par le facteur commun.
On simplifie.
On réécrit plus simplement.
On calcule ce qui est entre crochet.
Attention s’il y a un moins devant une parenthèse on change les signes des termes qui étaient dans la parenthèse.
On réduit pour obtenir le résultat.
On peut trouver une technique personnelle pour calculer le plus rapidement possible. Il est évident que tous les calculs doivent se faire de tête.
Ici pour expliquer on les a effectuer en 6 étapes. On peut facilement réduire à 3 étapes.
Factorisation 3
Deux facteurs opposés
Dans ce cas, le facteur commun n’est pas apparent.
Mais si on regarde bien, on constate que 
et 
sont opposés.
On peut écrire :
On remplace ensuite par –.
Le facteur commun apparaît. Il ne reste plus qu’à effectuer la factorisation en prenant garde aux signes.
La suite est connue :
Ainsi, en ayant transformé un facteur pour le rendre identique à un autre, nous avons pu effectuer ensuite facilement la factorisation.
Factorisation 4
Avec identité remarquable
Le facteur commun est encore moins apparent.
mais on remarque que :
C’est une identité remarquable. Ici on a la forme développée, nous pouvons écrire la forme factorisée.
On remplace dans la formule initiale.
Un facteur commun apparaît.
On factorise.
On arrive au résultat final.
On peut mettre en facteur -1 dans le deuxième facteur. Comme les facteurs d’une multiplication sont commutatif, on place ce -1 devant et on obtient :
En supprimant 1 inutile.