Les solides
Représentation d'un solide
Prenons un cube entre les mains. Ce cube est situé dans l’espace. Ce cube possède trois dimensions : une longueur, une largeur et une hauteur.
Le problème est de représenter ce cube en trois dimensions sur un papier (ou un écran) qui ne possède que deux dimensions : une longueur et une largeur.
Pour cela on utilise une technique de dessin appelée perspective cavalière.
Ci contre on a la représentation d’un cube en perspective cavalière.
Avec la souris, on peut bouger le cube comme si on l’avait dans la main.
Les faces opposées de ce cube sont parallèles.
En tournant le cube de telle façon que la face ABCD soit au premier plan. On remarque que ABCD es un carré parfait ainsi que sa face opposée EFGH .
Par contre les autres faces ne sont pas représentées par un carré mais par un parallélogramme.
Les côtés des carrés de ces deux faces sont égaux.
Par contre AB et BF ne sont pas égaux sur le dessin alors qu’ils le sont en réalité. Mais 
Les angles des carrés vus de face sont droits, mais les angles des parallélogrammes ne sont bien sûr pas droits.
Les côtés des carrés ou arrêtes du cubes cachées sont représentées en pointillés.
Règles de la perspective cavalière
Pour le collège
Pourquoi perspective cavalière ?
Deux interprétations : C’est la vue qu’a un cavalier du haut de son cheval d’un objet sur posé sur le sol.
C’est la vue qu’a un soldat du haut d’un monticule appelé cavalier de la campagne environnante.
1) Les lignes et arêtes cachées sont représentées en pointillés. Dans le vrai cube on ne voit pas les arêtes CG, GF et GH.
Les arêtes visibles sont représentées en traits pleins.
2) Un élément situé dans un plan face à l’observateur est représenté en vraie grandeur, non déformé: avec les mêmes angles et les mêmes longueurs que dans la réalité. Ici le carré ABCD.
3)On conserve le parallélisme. Les droites parallèles en réalité seront aussi parallèles sur le dessin.
4)On conserve l’alignement. Des points alignés en réalité seront alignés sur le dessin.
5) On conserve les milieux.
6) On conserve les intersections Des droites concourantes en réalité seront concourantes sur le dessin
Pour le lycée
Les fuyantes sont les demi-droites rouges [BF), [CG), [DH), [AE). Elles sont perpendiculaires au plan (ABCD). Elles sont toutes parallèles entre elles.
Elles forment un angle α avec l’horizontale [AB).
Cet angle α est généralement compris entre 30 et 60°.
Dans la réalité les segments AB et BF sont égaux Mais sur le dessin, ils ne le sont pas.
On appelle coefficient de perspective le rapport entre les longueurs BF et AB :
Si on se donne le coefficient de perspective, généralement compris entre 0,5 et 0,7, on peut calculer les segments BF, CG, DH et AE.
L’abscisse x’ du point P’ dans le plan Ox,Oz est égale à l’abscisse x du point P dans l’espace plus l’ordonnée y du point P dans l’espace multipliée par le coefficient de perspective et le cosinus de l’angle de fuite.
L’ordonnée z’ du point P’ dans le plan Ox,Oz est égale à la cote du point P dans l’espace plus l’ordonnée y du point P dans l’espace multipliée par le coefficient de perspective et le sinus de l’angle de fuite.
Soit un cube d’arête 5 cm. Je le tiens dans la main.
Pour donner des coordonnées à tous ses sommets dans un repère dans l’espace, il suffit de prendre le sommet A pour origine du repère.
On prend l’arête AB pour axe des abscisses Ox
On prend l’arête AE pour axe des ordonnées Oy
On prend l’arête AD pour axe des cotes Oz
Sur chacun des axes on prend le cm pour unité.
Ainsi on peut définir facilement les coordonnées de chacun des sommets du cube. Elles sont inscrites dans le schéma ci contre.
On veut déterminer les coordonnées des sommets du cube représenté dans un plan.
Pour cela il nous faut décider :
d’un coefficient de perspective k
d’un angle de fuite α.
Il faut choisir un plan.
Le plus simple est de prendre le plan frontal, celui qui contient la face ABCD du cube. C’est le plan Ox,Oz.
L’axe Oy disparaît de notre représentation.
Pour calculer les nouvelles coordonnées dans le plan, on applique les formules ci-contre . P représentant un sommet quelconque du cube. Ses coordonnées dans l’espace étant x,y,z : P(x,y,z).
On obtiendra un nouveau point P’ représenté dans le plan Ox, Oz dont les coordonnées dans ce plan seront x’,z’ :P'(x’,z’).
Nous obtenons une représentation du cube ci-dessous.
Nous avons choisi k=0,3 comme coefficient de perspective et α= 30° pour angle de fuite
Il est évident que les points ABCD vont conserver leurs coordonnées. Mais vérifions :
Pour A
Pour B
Il en sera de même pour C et D.
Calculons les coordonnées de E,F,G et H
Pour E :
Pour F :
Pour G :
Pour H :
Quelques définitions
Polyèdre
Par 田中秀太郎 — Travail personnel, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=19914067
Un polyèdre est une forme géométrique à trois dimensions, un solide. Il est constitué de plusieurs faces planes polygonales (des polygones) qui se rencontrent selon des segments de droites appelés arêtes.
Poly : Beaucoup, plusieurs.
èdre faces
Ci-contre est représenté un dodécaèdre régulier.
Il a 12 faces. Dodéca = douze
Régulier : ses 12 faces sont toutes égales entre elles.
Chacune de ses faces est un pentagone régulier.
Un pentagone est un polygone ayant 5 côtés (penta=cinq)
Régulier, tous ses côtés sont égaux.
Il possède 12 faces, 30 arêtes et 20 sommets
Prisme
Un prisme est un polyèdre qui a pour bases deux polygones égaux et parallèles et dont les faces latérales sont des parallélogrammes.
Ci contre un prisme dont les bases sont deux hexagones (5 côtés) : ABCDE, FGHIJ.
Les faces latérales AJIE, ABFJ, BFGC, GHDC, HIED sont des parallélogrammes.
Prisme droit
Un prisme droit est un prisme dont les faces latérales sont des rectangles.
Elles font un angle droit avec les bases.
Les faces AJIE, ABFJ, BFGC, GHDC, HIED sont des rectangles et sont perpendiculaires aux deux bases ABCDE et FGHIJ.
Le cube
Le cube est un prisme droit dont les bases et les faces sont des carrés.
Toutes les faces et les bases sont égales.
Il possède ;
6 faces,
12 arêtes,
8 sommets.
Il a un autre nom hexaèdre régulier (hexa=six, èdre= face)
Si la mesure d’une arrête est égale à a :
L’aire d’une face est égale à a x a=a²,
l’aire des 6 faces est égale à 6a²
Le volume du cube est égal à a x a x a =a3.
Si notre cube a une arrête de 5 cm
L’aire d’une face sera 5²=25 cm²
L’aire des 6 faces ou aire latérale sera 6 x 5²=6 x 25=150 cm²
le volume du cube sera 53 = 125 cm3
Patron
Un patron est une représentation de toutes les faces d’un solide dans le plan de telle façon qu’en les repliant on obtient le solide.
Ci contre, nous avons deux patrons possibles d’un cube.
Le patron de gauche est le plus usuel.
Le patron de droite permet le moins de déchet possible en le découpant dans un carton. (4 carrés contre 6 carrés de déchets)
Les faces de même couleur sont les faces opposés du cube.
Pour reconstituer solidement le cube, il faut prévoir des languettes sur certaines arrêtes qui permettront de coller les faces entre elles.
Elles ne sont pas représentées sur les dessins .
Parallélépipèdes
C’est un solide à six faces qui sont toutes des parallélogrammes.
Il est donc constitué de 6 faces :
ABCD et EFGH sont opposées et parallèles. AFGH est l’image de ABCD par translation.
BCFG et ADGH sont opposées et parallèles. ADGH est l’image de BCFG par translation.
ABEH et DCFG sont opposées et parallèles. DCFG est l’image de ABEH par translation.
Il est constitué de 12 arêtes.
Il a 8 sommets.
A titre indicatif nous indiquons ci-contre la formule donnant le volume d’un tel solide en fonction des arêtes AB,BC,CD et des angles α,β et γ.
Parallélépipède rectangle ou pavé droit
Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide à six faces qui sont toutes des rectangles.
Il a 6 faces opposées et parallèles 2 à 2.
Il a 12 arêtes .
Il a 8 Sommets.
L’aire des 6 faces ou aire latérale du parallélépipède rectangle est égale à 2 fois l’aire de ABCD + 2 fois l’aire de ADHE + 2 fois l’aire de ABFE. soit A= 2(Longueur x largeur + largeur x hauteur +Longueur x hauteur). ce qui conduit à la formule ci-contre.
Les angles α, β et γ non représentés sur ce schéma sont tous égaux à 90° et donc leur cosinus est égal à 0. Ainsi le volume du parallélépipède rectangle se réduit à Longueur x largeur x hauteur.