Intégrales
Introduction
Soit la fonction 
représentée par la courbe verte ci-contre.
Il s’agit de calculer l’aire hachurée en vert comprise entre la courbe et l’axe des abscisses et entre les droites d’équation x=0,5 et x=6.
Apparemment c’est une tache difficile et nous allons essayer de trouver une méthode permettant de trouver cette aire plus aisément.
Méthode avec des rectangles.
Soit A un point de la courbe d’abscisse 0,5. A partir de A on construit un rectangle ADCB de longueur BA et de largeur AD=BC=0,5=dx.
DC coupe la courbe en D’. A partir de ce point, construisons un autre rectangle A’BCD’ de longueur D’C et de même largeur que le précédent A’D’=BC=0,5= dx.
L’aire hachurée en jaune et vert est comprise entre l’aire du petit rectangle A’BCD’ et l’aire du grand rectangle ABCD.
Nous pouvons construire une série de deux rectangles adjacents les uns aux autre qui recouvriront toute la surface verte.
Nous avons choisi une fonction positive décroissante. dans ce cas puisque dx >0 f(x+dx)<f(x)
Si nous avions choisi une fonction positive et croissante toujours avec dx>0 nous aurions f(x+dx)>f(x) et l’encadrement serait alors : 
Considérons le grand rectangle ABCD :
sa longueur AB est égale à f(x) puisque A est sur la courbe de la fonction
L’aire de chacun des grands rectangles est égale à f(x) X dx ou f(x)dx..
Ainsi la somme de ces grands rectangles peut s’écrire :
La lettre grecque majuscule Σ signifiant somme de.
On peut lire cette expression ainsi :
somme des f(x)d(x) autrement dit somme des aires des grands rectangles.
COnsidérons maintenant le petit rectangle A’BCD’.
Sa longueur est D’C. D’ est sur la courbe. D’ a pour abscisse A’D’ou AD donc x+dx. SOn ordonnée D’C sera (f(x+dx) et l’aire de chacun de ces petita rectangles sera donc égale à f(x+dx)dx (Longueur X largeur). Et la somme de ces aires pourra donc s’écrire : 
Nous voyons avec l’animation que plus dx est petit, plus on se rapproche de la valeur de l’aire verte et les rectangles ABCD et A’BCD’ on tendance à se confondre.
Si nous prenons une valeur dx très proche de 0 la plus petite possible, une valeur dite infinitésimale, les aires des deux rectangles seront parfaitement confondues et on aura la valeur exacte de l’aire verte. Cette valeur exacte s’écrit avec un symbole somme déformé ∫.
Comme toutes ces sommes sont entre les valeurs d’abscisses 0.5 et 6 on écrira :
.
Aire et primitives
Pour chacune des valeurs de X obtenues en faisant glisser le curseur avec la souris, on remarque que l’aire totalement hachurée BCDA’ est égale à l’aire hachurée rouge plus l’aire hachurée verte (A0B0BA’+BCDA’) – l’aire hachurée rouge (A0B0BA’).
L’aire hachurée rouge correspond à l’aire pour l’abscisse x=X, c’est A(X)
L’aire rouge plus l’aire du rectangle vert correspond à l’aire pour l’abscisse x=X+h, c’est A(X+h).
L’aire en vert foncé est donc égale à A(X+h)-A(X)
De plus cette aire en vert foncé est comprise entre f(X).h et f(X+h);h.
Voir la démonstration ci contre.
Cela paraît fastidieux. Il faut se concentrer et aller doucement pas à pas en regardant bien de quoi il s’agit sur la figure.
Remarque : dans la démonstration ci-contre h est bien sûr égal à dx qui prennent tous les deux une valeur infinitésimale tendant vers 0.
F(x) étant la primitive de la fonction f(x).
Calculons l’aire comprise entre la courbe f(x)=6ln(x) et l’axe des abscisses d’une part et la droite d’équation x=2 et la droite d’équation x=12 d’autre part.
Ce qui correspond bien au résultat final donné par l’animation.
Le résultat est exprimé en unité d’aire, ua.
Cette unité d’aire correspond à un rectangle dont la longueur ou la largeur correspond à l’unité de l’axe des abscisses et la largeur ou la longueur correspond à l’unité de l’axe des ordonnées.
Exemples d’unités d’air. Faire glisser les curseurs avec la souris.
Soit la fonction f(x)=6ln(x)
Nous allons trouver maintenant une autre méthode pour calculer exactement l’aire totalement hachurée en rouge et vert située sous la courbe f(x).
Cette aire est limitée par l’axe des abscisses, la courbe et les droites d’équation x=2 et x=X.
Ou en généralisant les droites d’équation x= a et x=X
Pour la commodité des calculs nous avons pris une fonction positive croissante. On aboutirait au même résultat dans les trois autres cas.
Soit B un point quelconque d’abscisse X. Le point A’ est le point de la courbe d’abscisse X et d’ordonnée f(X).
Soit C un point d’abscisse X+h.
D est le point de la courbe d’abscise X+h et d’ordonnée f(X+h).
L’aire hachurée en vert est plus grande que l’aire du rectangle BDD’A et plus petite que l’aire du rectangle BCDA. Ce qui se traduit algébriquement par la double inégalité : 
BCD’A’ est un rectangle de longueur BA’=f(X) et de largeur h. Son aire est donc : f(X) . h=f(X)h.
BCDA est un rectangle de longueur CD=f(X+h) et de largeur h. Son aire est donc f(X+h) X h = f(X+h)h.
Soit une fonction A(x) donnant l’aire comprise entre l’axe des abscisses, la courbe et les droite d’équation x=a=2 et x=X. C’est l’aire hachurée rouge A0B0BA’‘
Ainsi A(X+h) sera l’aire comprise entre l’axe des abscisse, la courbe et les droites d’équation x=a et x=X+h. Aire hachurée rouge + aire achurée verte , A0B0CD.
L’aire hachurée verte sera donc égale à l’aire hachurée rouge plus l’aire hachurée verte moins l’aire hachurée rouge. Aire BCDA’= Aire A0B0CD-AIre A0B0BA’.
Divisons par h cette double inégalité
est le taux d’accroissement de la fonction A(x). Le numérateur représente l’accroissement des ordonnées et h l’accroissement des abscisses.
Etudions la limite de ce taux d’accroissement par rapport à l’encadrement de ce taux :
Or , il est évident que 
Donc :
D’après le théorème sur les encadrements ou communément appelé théorème des gendarmes, nous pouvons écrire : 
Or nous savons que la limite d’un taux d’accroissement quand h tend vers 0 est le nombre dérivée :
Si A'(x) est la dérivée de f(x) nous en déduisons que A(x) est une primitive de f(x) que l’on peut nommer maintenant F(x).
Les primitives sont toujours définies à une constante près.
En a (x=a; x=2 dans notre exemple) l’aire est nulle puisque c’est l’aire comprise entre a et a.
En remplaçant dans la première équation :
Ainsi l’aire A(x) entre a et x est égale à la valeur de la primitive de la fonction en x moins la primitive de la fonction en a.
Définition
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a,b] à valeurs réelles. L’ensemble
est une région du plan comprise entre la courbe représentative de f, les deux verticales x=a et x=b et l’axe des abscisses Ox.
La mesure de l’aire de S notée 
est l’intégrale de a à b de f . Celle-ci est alors appelée intégrale définie de f sur le segment [a,b]
Aire algébrique, aire géométrique
Considérons la fonction 
dont la représentation graphique est dans la fenêtre ci-contre.
Calculons l’intégrale entre a et b 
En cliquant sur la case à cocher A1 on obtient sa valeur : 4,66.
Calculons l’intégrale entre b et c.
En cliquant sur la case à cocher A2 on obtient, oh surprise, une valeur négative : -1,29.
En effet pour A1 la fonction est positive puisque sa courbe se trouve au-dessus de l’axe des abscisses.
Mais pour A2 la fonction est négative puisque sa courbe est en-dessous de l’axe des abscisses.
Calculons l’intégrale entre a et c 
En décochant A1 et A2 et en cochant A3 on obtient le résultat :3,37 qui est la somme algébrique de A1 et A2 : 4,66-1.29.
On obtient ainsi l’aire algébrique.
Pour obtenir la véritable aire entre a et c nous devrons procéder en trois étapes.
Calculer l’aire entre a et b.
Calculer l’aire entre a et c.
Soustraire les deux résultats.
En cochant la case Agéométrique 0n obtient ainsi la valeur 5,95.n
Valeur moyenne d'une fonction
Case Aire a1 : aire entre a et b représentant l’infinité de valeurs prises par la fonction entre a et b. Chaque trait de hachure représente une de ces valeurs. il suffit d’imaginer ces traits de plus en plus serrés.
Case Aire rectangle : c’est l’aire du rectangle ayant pour largeur la valeur de la moyenne μ et pour longueur (b-a).
L’aire du rectangle est la même que l’aire A1.
Le but est de calculer la valeur moyenne de la fonction f(x) entre les points A et B, entre les abscisses a et b.
Nous savons calculer la moyenne de valeurs discrètes (bien définies et séparées) : on additionne toutes les valeurs qu’on divisent par leur nombre.
Mais pour une fonction, nous avons une infinité de valeur entre A et B. Il nous est impossible d’additionner une infinité de valeurs.
Si on se reporte au début de ce chapitre toutes les valeurs de la fonction f(x) entre les abscisses a et b sont contenues dans l’aire située entre la courbe, l’axe des abscisses et les deux abscisses.
En cliquant sur Aire a1 on remarque que cette aire est représentée par des hachures verticales qui chacune représente une valeur de la fonction. Plus les hachures sont serrées et plus on aura de valeurs, jusqu’à l’infini.
Cette infinité de valeur est représentée par l’intégrale :
Entre les abscisses a et b b-a représente le nombre de valeurs prises par la fonction, une infinité en réalité.
Pour obtenir la moyenne il suffit de diviser l’intégrale par b-a.
Propriétés
L’intégrale entre les valeurs a et a est évidemment nulle puisque la largeur du petit rectangle est nulle. 
L’intégrale de f(x) sur l’intervalle [b,a)] est l’opposée de l’intégrale de f(x) sur l’intervalle [a,b].
Il s’agit de la relation de Chasles 
L’intégrale du produit d’une fonction f(x) par un réel k est égale au produit de l’intégrale de la fonction f(x) par le nombre réel k .
L’intégrale de la somme de deux fonctions f(x) et g(x) est égale à la somme des intégrales de chaque fonction. 
Si une fonction f(x) est positive (négative) sur un intervalle [a,b], son intégrale sera également positive (négative).
Si une fonction f est supérieure à une fonction g sur un intervalle [a,b], l’intégrale de la fonction f est supérieure à l’intégrale de la fonction g.
En sachant que l’intégrale correspond à l’aire sous la courbe, cela est évident et nous nous passerons de démonstration.
Il s’agit de l’inégalité de la moyenne.
soit m le minimum d’une fonction f(x) sur un intervalle [a,b],
Soit M le maximum de cette fonction f(x) sur le même intervalle.
Cette inégalité signifie que la valeur moyenne de la fonction f(x) sur l’intervalle [a,b] est comprise entre son minimum m et son maximum M
Intégration par partie
Exemple :
Le tout est de bien choisir u(x) et v'(x) pour que les différentes intégrations soient le plus faciles possible. 
Ensuite ce ne sont plus que des calculs :
Démonstration
u(x) est une fonction v'(x) est une autre fonction que l’on peut considérer comme la dérivée d’une fonction v(x).
la formule donne la valeur de l’intégrale du produit des fonction u et v’.
C’est relativement casse-tête et il faut bien se concentrer.
Démonstration.
On connaît la formule de la dérivée du produit de deux fonctions u et v. On transforme cette formule. 
On intègre les deux membres de cette égalité sur un intervalle [a,b] :
Considérons la première partie du second membre intégrer la dérivée du produit de deux fonction revient à calculer la primitive de la dérivée du produit des deux fonctions qui est en fait le produit des deux fonctions. A une constante près le calcul d’une primitive et celui d’une dérivée sont deux opérations réciproques qui s’annulent donc. 
Nous en déduisons :
Aire entre deux courbes
Il s’agit de calculer l’aire ABCD située entre les deux courbes représentatives des fonctions f(x) et g(x) et les droites d’équations x=a et x=b.
En cochant la case Aire sous f(x) on obtient en rouge l’aire située sous la fonction f(x). Sa valeur A1 est donnée par l’intégrale :
En cochant sur la case Aire sous g(x) on obtient en vert l’aire située sous la fonction g(x). Sa valeur A2 est donnée par l’intégrale :
Puisque f(x)>g(x) il est évident que l’aire ABCD est égale à l’aire A1 diminuée de l’aire A2
Or nous savons que :
L’aire comprise entre deux courbes et un intervalle [a,b] est égale à l’intégrale sur cet intervalle de la différence des deux courbes.
Quelle est l’aire comprise entre les fonctions f(x)=x2 et g(x)=x3 et leur deux points d’intersection.
1) on détermine les abscisses a et b des 2 points d’intersection de ces deux fonctions.
2) on calcule ensuite le signe de f(x)-g(x) pour pour déterminer laquelle des deux fonctions est supérieure à l’autre suivant les différentes valeurs de x. On opère avec un tableau de signe. 
Sur l’intervalle [0,1] f(x)-g(x)>0 donc f(x)>g(x).
Ainsi l’aire cherchée sera 
Volume
La courbe verte est une parabole d’équation :
Aire A bleue entre x=-2 et x=5
Le graphique ci-dessus est un graphique en trois dimensions dont les axes sont Ox en rouge, Oy en vert et Oz en bleu.
Avant toute intervention, le graphique représente le solide vu au-dessus du plan Ox,Oy en gris.
Pour voir le solide sous différents angles, il faut en laissant appuyé sur le clique droit de la souris la faire glisser dans la zone blanche.
On fait tourner cette aire autour de l’axe horizontal des abscisses. On obtient un volume représenté dans le graphique de droite en trois dimensions. (Voir ci-contre le mode d’utilisation).
Nous allons calculer le volume du solide obtenu par cette rotation sur 360°.
DE est le rayon r-1 d’un cercle de centre B coupant le solide en l’abscisse x=-1. L’aire de ce cercle est égale à π(r-1)2 : π x (rayon)2.
GH est le rayon r5 d’un cercle de centre G coupant le solide en l’abscisse x=5. L’aire de e cercle est égale à π(r5)2.
Imaginons que depuis l’abscisse x=-2 à l’abscisse x=5 nous découpions une infinité de ces cercles dont l’épaisseur dx tend vers 0.
La somme des aires de cette infinité de cercles sera égale au volume de notre solide. C’est à dire à l’intégrale de -2 à 5 de πr2.
Suite sur la colonne de droite.
Le rayon r est égal par exemple à ,DE. la longueur DE est l’ordonnée du point E qui est égale à f(-1). Pour chacun des cercles ce rayon sera donc égal à f(x) pour l’infinité des valeurs de x. 
On calcule :
On obtient le volume en unité de volume. L’unité de volume étant semblable à l’unité d’aire avec un segment unité (ou vecteur unité) sur l’axe des cotes z’Oz.
Conversion des unités d'aire et des unités de volume
Sur l’e schéma ci-contre,
on peut faire varier la longueur OI de l’unité des abscisses en modifiant le curseur bleu avec la souris. Ainsi l’unité des abscisses sera égale par exemple à 3 cm.
On peut faire varier la longueur OJ de l’unité des ordonnées en modifiant le curseur rouge toujours avec la souris. Ainsi l’unité des ordonnées sera égale par exemple à 4 cm
L’unité d’aire est représentée par la surface en marron sur la graphique et sa valeur sera donnée en cm2. Avec les exemples donnés l’unité d’aire serait égale à 4 x 3 =12 cm2.
Dans les calculs d’intégrales, on obtient, au finale, une aire données en ua (unité d’aire). Pour connaître cette aire en cm2, il suffit de multiplier l’aire donnée en ua par la valeur de l’ua en cm2.
Dans notre exemple si on trouve une aure de 3 ua, elle vaudra
12 x 3=36 cm2.
Même démarche pour le calcul d’un volume.