Encadrements et infinis 2-1-T
Les infinis
Plus l'infini
Cliquer successivement sur les boutons “jusqu’à…” en commençant par “jusqu’à 1000”. Premier clic initialisation, second clic démarrage.
Pour faciliter le premier curseur compte de 10 en 10, le deuxième de 100 en 100 et le troisième de 1000 en 1000.
Si tu devais compter jusqu’à 1 000 000 à raison de 1 chiffre par seconde tu finirais au bout de plus de 11 jours et nuit
En effet : 1 000 000 : 3600 = 277,77 heures et 277,77 : 24 = 11,54 jours.
Etonnant non ?
Intervalles finis
Dans les animations ci-dessous, les nombres a,b,c et d peuvent prendre successivement toutes les valeurs appartenant aux nombres réels indiquées par le curseur rouge.
Elles n’y sont pas toutes bien sûr puisqu’il y en a une infinité. Nous nous sommes contentés des nombres réels avec deux décimales.
Pour mettre en route les animations :
sur chaque bouton “cas n” :
premier clique le curseur se positionne à gauche s’il n’y est pas déjà.
second clique : l’animation démarre
Précisions au sujet des crochets. On remarque que les crochets peuvent être ouverts ou fermés.
Un crochet fermé est tourné vers l’intérieur de l’ensemble désigné [a,b] Il indique que les nombres a et b font partis de l’ensemble. C0mme moyen mnémotechnique on peut assimiler les deux crochets comme deux portes fermées. les nombres indiqués ne peuvent pas sortir.
Un crochet ouvert est tourné vers l’extérieur de l’ensemble considéré, ]a,b[.
Il indique que le nombre a par exemple n’appartient pas à l’ensemble. Tous les nombres s’approchant de a appartiennent à l’ensemble sauf a. Pour ]-5;5[ -5 n’appartient pas à l’ensemble considéré mais -4,9 ou -4,99 ou -4,999999 appartiennent à l’ensemble. On peut assimiler ces crochets ouverts à des portes ouvertes qui laissent échapper les nombres considérés.
Cela paraît bien compliqué au prime abord mais c’est très simple une fois compris. Bien sût, il est évident qu’il n’est pas question d’apprendre par coeur les différentes possibilités ci-dessus.
Il existe trois façon d’indiquer qu’un nombre appartient à un intervalle. Elles sont définies ci-contre.
Cas 1 : le nombre a est compris entre -5 et 5
a peut prendre la valeur -5
a peut prendre la valeur 5
Cas 2 : le nombre b est compris entre -5 et 5
b ne peut pas prendre la valeur -5
mais peut prendre des valeurs proches de -5 plus grandes que -5
b ne peut pas prendre la valeur 5
mais peut prendre des valeurs proches de 5 plus petites que 5
Cas 3 : le nombre c est compris entre -5 et 5
c ne peut pas prendre la valeur -5
mais peut prendre des valeurs proches de -5 plus grandes que -5
c peut prendre la valeur 5
Cas 4 ; le nombre d est compris entre -5 et 5
d peut prendre la valeur -5
d ne peut pas prendre la valeur 5
mais peut prendre des valeurs proches de 5 plus petites que 5
Intervalles avec l'infini
Pour l’infini nous nous sommes limités aux nombres -1000 et 1000.
Mais nous aurions pu prendre -1000000000 et 100000000.
Voir la définition de l’infini.
Cas 1
Le nombre a peut prendre toutes les valeurs supérieures ou égales à -5.
a est plus grand ou égal à -5.
les écritures -5 ≤ a ou a≥-5 sont équivalentes.
Cas 2
le nombre b peut prendre toutes les valeurs supérieures à -5 non compris.
a est strictement plus grand que -5
les écritures -5<a et a>-5 sont équivalentes.
Cas 3
le nombre c peut prendre toutes les valeurs inférieure ou égales à 5.
c est plus petit ou égal à 5.
Les écritures c≤5 ou 5≥c sont équivalentes.
Cas 4
Le nombre d peut prendre toutes les valeurs inférieures à 5 non compris.
d est strictement inférieur à 5.
Les écritures d<5 et 5>d sont équivalentes.