Mouvements rectilignes
Mouvement rectiligne uniforme
Vitesse moyenne
Au temps t=0 seconde la voiture a déjà parcourue x=30 mètres.
Cela signifie que par exemple on laisse la voiture prendre de l’élan avant de décompter le temps.
L’origine du temps ne coïncide pas avec l’origine de l’espace.
Au temps t=5 secondes la voiture a parcouru 130 mètres soit 30 mètres avant le décompte du temps et 100 mètres à partir du décompte du temps.
Il est est de même au temps t=10 secondes. Elle a parcourue 30 mètres plus 200 mètres.
La vitesse moyenne entre deux temps correspond à la distance parcourue entre ces deux temps (moments) divisée par le temps écoulé entre ces deux moments.
Ainsi entre t=0 et t=5 La vitesse moyenne est-elle :
de même entre t=5 et t=10 :
On voit que la vitesse moyenne ne change pas le long du parcours.
On peut décliner autrement cette vitesse moyenne en utilisant le taux de variation :
h représente l’accroissement du temps.
Pour la première vitesse moyenne :
et pour la seconde :
On trouve les mêmes valeurs.
La trajectoire de la voiture est la route marron.
L’équation horaire 
de la voiture calcule la distance
parcourue en fonction du temps
Dans notre cas l’équation horaire de la voiture est : 
La vitesse moyenne est celle dont on parle lorsque quelqu’un a roulé pendant 2 heures pour effectuer 150 Kilomètres. Sa vitesse moyenne était donc de 75 km/h
La vitesse moyenne entre les temps t1 et t2 est égale à l’accroissement des distances divisé par l’accroissement du temps. 
Si h représente l’accroissement du temps, alors Vm est égal au taux d’accroissement entre deux valeurs de temps t2 et t1 : h=t2 – t1 la vitesse moyenne est égale au taux d’accroissement :
Vitesse instantanée.
Au paragraphe précédent on a calculé la vitesse moyenne entre t0 et t1 : h=t1 – t0 .
pour calculer la vitesse instantanée au temps t0 on fait tendre h vers 0 de même pour la vitesse en t2 :
La vitesse instantanée est la vitesse acquise par le véhicule à un moment précis t. En fait c’est la vitesse qu’on lit sur le compteur de la voiture.
on a calculé la vitesse moyenne à partir d’un écart de temps h plus ou moins important.
On réduit le plus possible cet écart de temps h comme indiqué sur la figure ci contre : les deux chronométreurs en vert sont presque côte à côte et vont prendre le temps lorsque la voiture passe devant eux très rapidement l’un après l’autre. L’écart de temps h est très petit. On peut le réduire de plus en plus jusqu’à ce qu’il s’approche de 0. On dit qu’il tend vers 0.
Ainsi on aura la vitesse instantanée au temps t0 .
De même pour le temps t2 .
On définit la vitesse instantanée comme la limite du taux d’accroissement lorsque h tend vers 0 :
On peut simplifier par h car h n’est pas égal à 0, il s’en approche le plus possible sans jamais l’atteindre.
Est-il étonnant que la vitesse moyenne soit toujours de 20 km/h et la vitesse instantanée soit à tout moment égale aussi à 20 km/h.
Non car la voiture roule toujours à la même vitesse à partir du temps t0 .
Sa vitesse instantanée ne varie pas et donc sa vitesse moyenne également.
Dérivée
Dans notre cas particulier, la fonction horaire de notre voiture est 
En dérivant cette fonction, nous obtenons la fonction dérivée :
C’est une fonction constante. Quel que soit le temps considéré, la voiture roulera toujours à 20 km/h
Nous sommes capables de calculer la vitesse instantanée à n’importe quel temps t.
On peut trouver une fonction qui donnera la vitesse quel que soit le temps t considéré.
Cette fonction est la fonction dérivée de la fonction horaire que l’on calcule à l’aide des formules de dérivation.
Ainsi pour une fonction horaire : 
La fonction dérivée représentant la fonction vitesse sera :
Qui est une fonction constante, ce qui n’est pas étonnant puisque nous avons à faire à un mouvement uniforme.
Quel que soit le temps t la vitesse instantanée du mobile sera égale à a.
Equation horaire
L’équation horaire est la fonction x(t) donnant la distance par rapport au temps, selon le temps écoulé.
En abscisse , le temps en secondes.
En ordonnée les distances en mètres.
La droite vert représente l’équation horaire du mobile. En tout point d’abscisse t on peut trouver la distance parcourue.
Pour trouver la vitesse en un point d’abscisse t on a utilisé le taux d’accroissement et nous avons trouvé un nombre a =20.
Ce nombre dérivé est le coefficient directeur de la tangente à la courbe en ce point d’abscisse t.
Or la courbe set une droite.
La tangente à cette droite en un point d’abscisse t est la droite elle même. Le coefficient de la tangente et celui de la droite sont les mêmes a=20.
La fonction dérivée est une fonction constante.
Quel que soit le temps t choisi la dérivée , la vitesse sera la même.
Vecteurs
La voiture est soumise à plusieurs forces représentées par des vecteurs. 
Au niveau de chacun des 4 pneus :
Une force de frottement due au contact entre le pneu et la chaussée. Notons au passage que si les pneus ne sont pas assez gonflés, la surface de contact sera plus importante et donc la force plus grande.
Lorsqu’on additionne ces 4 forces, on obtient la résultante qui traduit l’action d’une seule force plutôt que l’action de 4 forces.
Une force de traction due à la rugosité du pneu et de la route.
Là aussi on additionne les 4 forces de traction ou forces motrices pour en obtenir une seule leur résultante.
Elle est aussi soumise à deux forces très importantes :
Son poids et la réaction du sol sur la voiture. 
Le poids de la voiture s’exerce sur son centre de gravité pour simplifier les choses et alléger le dessin.
En réalité le poids est réparti sur les 4 roues de la voitures et nous aurions dû tracer sur chacune de ces 4 roues un vecteur poids opposé à la réaction du sol sur la voiture. En leur absence la voiture s’envole ! Nous avons donc tracé uniquement la résultante P de ces 4 vecteurs poids.
La réaction du sol sur la voiture s’exerce sur chacun des 4 pneus.
La somme vectorielle de ces 4 réactions se traduit par leur résultante opposée et égale en intensité au poids de la voiture.
Ainsi la voiture reste-t-elle sur la surface de la chaussée.
Si la réaction au poids était inférieure, la voiture s’enfoncerait dans le sol. C’est le cas lorsque la voiture roule sur du sable ou de la boue.
Si la réaction était supérieure, alors, la voiture ne toucherait pas le sol ……..
Ainsi nous avons 4 forces.
Comme le mouvement de notre voiture est rectiligne uniforme, la somme des forces exercées sur la voiture est nulle. 
Comme la réaction compense le poids, la force d’attraction compense la force de frottement. 
Comme la somme des forces exercée sur la voiture est nulle, aucune force n’est représentée.
Avant le temps t=0 le conducteur accélère (appuie assez fortement sur l’accélérateur) pour que la voiture atteigne une certaine vitesse au moment t=0, à 30 m après avoir démarré.
Au temps t=0, à 30 m il lâche un peu la pédale d’accélérateur de manière à ne compenser que les forces de frottement. Ainsi la somme vectorielle des forces agissant sur la voiture est nulle. Et la voiture continue en ligne droit à vitesse constante représentée sur la schéma par le vecteur V.
Résultantes de plusieurs forces :
C’est la somme vectorielle de toutes les forces.
Attention c’est une somme vectorielle.
Lorsque les vecteurs sont colinéaires ont les additionnent en les mettant bout à bout.
Sinon……
3ième loi de Newton : action et réaction :
Si un solide S1 exerce une force F sur un solide S2 le solide S2 exerce une force F directement opposée sur le solide S1.
1ière loi de Newton : (Principe d’inertie)
Si la somme vectorielle des forces exercées sur un solide est nulle, alors ce solide est soit au repos, soit animé d’un mouvement rectiligne uniforme (vitesse constante).
Energie cinétique :
Voyons ce qui se passe au niveau de l’énergie cinétique.
Nous avons vu précédemment que la somme vectorielle des forces appliquées sur la voiture était un vecteur nul.
Le travail de ces forces sera donc égal à 0.
Remarquons au passage que le travail n’est pas un vecteur, mais un scalaire (un nombre) puisque c’est le résultat d’un produit scalaire entre deux vecteurs.
Calculons la variation de l’énergie cinétique entre A et B.
Or nous savons d’après le théorème de l’énergie cinétique ci-contre que la variation de l’énergie cinétique d’un mobile entre deux points A et B est égale au travail des forces externes exercées sur ce mobile.
Ici, la variation de l’énergie cinétique est nulle,comme le travail des forces sur la voiture est nul.
Energie cinétique :
L’énergie cinétique absorbée par un mobile de masse m en mouvement à la vitesse V est égale au demi produit de la masse du mobile par le carré de sa vitesse :
Travail d’une force :
Le travail W d’une force F se déplaçant selon un vecteur AB est égal au produit scalaire de la force par son déplacement :
Théorème de l’énergie cinétique :
Dans un référentiel galiléen, la variation de l’énergie cinétique d’un mobile de masse m est égale au égal à la somme des travaux des forces externes qu’il subit. 
Souvent en physique la norme d’un vecteur s’écrit comme ceci :
Mouvement rectiligne uniformément varié
Ce petit avion est sur la piste. Il veut décoller, donc atteindre la vitesse de 120 km/h.
Tout le long de la piste des employés de l’aéroport relève le temps au moment du passage de l’avion devant eux.
L’équation horaire de l’avion est :
On prendra pour unités de temps la seconde et de distance le mètre.
Au temps t0=0 l’avion a déjà roulé et au passage devant le premier contrôleur, il aura parcouru 2 m.
Calculons la distance parcourue selon les temps affichés sur le schéma:
Pour décoller, un avion doit atteindre une certaine vitesse variant suivant son poids.
Le décollage d’un ULM se produit entre 20 et 50 km/h.
Celui d’un petit avion de tourisme entre 80 et 120 km/h.
Celui d’un avion de ligne, 250 km/h.
L’équation horaire permet de calculer la distance x(t) parcourue en fonction du temps t. C’est une fonction. A chaque temps, correspond une distance parcourue..
Dans ce cas particulier l’équation horaire est de la forme :
C’est une fonction du second degré et le deuxième membre est un trinôme du second degré.
Ces résultats sont résumés dans le schéma ci-dessous :
Vitesse moyenne
Nous allons maintenant calculer la vitesse moyenne entre deux laps de temps avec cette formule : 
On obtient les résultats suivants en m.s-1:
On remarque que ces vitesses moyennes varient. Donc les vitesses instantanées ne sont pas constantes, elle varient aussi.
La vitesse moyenne est donnée par la formule 
La vitesse moyenne correspond au taux d’accroissement τ entre deux temps t0 et t1 .
Ce taux d’accroissement peut s’écrire autrement :
Soit t1=t0+h. h étant le laps de temps écoulé entre t0 et t1.
On en déduit la formule suivante :
Vitesse instantanée
Nous allons maintenant calculer la vitesse instantanée à chacun des instants t donnés sur le croquis. Pour cela deux méthodes (voir ci contre). Nous utiliserons la plus simple à partir de la fonction dérivée de l’équation horaire. Pour les unités nous exprimerons la vitesse en m.s-1 que nous transformerons ensuite en km.h-1 pour que ce soit plus parlant pour nous.
Equation horaire de l’avions :
La fonction vitesse , dérivée de cette fonction horaire :
Il nous reste plus qu’à calculer la vitesse pour chaque valeur de t donnée. 
La vitesse augmente régulièrement. Il existe donc une accélération de l’avion.
On pourrait calculer entre chaque laps de temps l’accélération moyenne comme on l’a fait pour la vitesse.
Deux méthodes pour calculer la vitesse instantanée.
A partir du taux d’accroissement :
la vitesse au temps t=t0 sera :
Il faudra recommencer le calcul pour chaque valeur de t.
Cette méthode nous l’avons vu plus haut est assez fastidieuse.
A partir de la fonction dérivée de l’équation horaire.
La vitesse instantanée au temps t est donnée par la dérivée de l’équation horaire par rapport à t.
Les calculs sont plus aisés.
Accélération
Avec la formule ci dessous :
et à partir des vitesses données ci-dessus on peut calculer les accélérations moyennes entre deux laps de temps :
On s’aperçoit que l’accélération est constante.
En utilisant les fonctions dérivées :
L’équation horaire donnant la distance parcourue au temps t est :
La fonction vitesse donnat la vitesse au temps t est :
La fonction accélération est :
C’est une fonction constante et sa valeur correspond bien aux calculs précédents.
De la même manière que pour la vitesse, on peut calculer l’accélération moyenne entre deux laps de temps avec la formule :
On peut calculer aussi l’accélération instantanée de la manière suivante :
Mais plus simplement :
La fonction accélération est la dérivée de la fonction vitesse, soit la dérivée de la dérivée de la fonction horaire, soit la dérivée seconde de la fonction horaire. 
Graphiques
Voyons maintenant les différents graphiques obtenus à partir de la fonction horaire, de la fonction vitesse et de la fonction accélération.
Sur le graphique ci-dessous, les trois fonctions sont représentées. Mais pour la vitesse et l’accélération, l’échelle des valeurs est trop petit par rapport à l’échelle des distances. 
La courbe bleue représente la distance parcourue au temps t.
La courbe rouge représente la vitesse atteinte au temps t
Les tangentes à la courbe (double flèches rouges) représentent également la vitesse au temps t. Le coefficient directeur des tangentes est égal à la vitesse.
La courbe verte représente l’accélération au temps t. Comme c’est une fonction constante, cette accélération ne change pas.
Ci dessous : représentation graphique de la vitesse en fonction du temps.
Dans le premier graphique les valeurs sur les ordonnées variaient de 0 à 2400 m
Dans ce second graphique les unités de vitesse varient de 0 à 40 m.s-1 .
Surl e troisième graphique on ne représente les trois fonctions que sur l’intervalle
〈0;12〉.
La représentation de la fonction horaire apparaît être une droite. En fait, c’est une portion de la parabole qui, compte tenu de l’échelle choisie semble être une droite. 
Equation ou fonction horaire :
Pour un temps t donné
La distance parcourue se lit sur l’axe des ordonnées.
La vitesse instantanée se calcule avec le nombre dérivé en un point et correspond à la pente de la tangente en ce point.
La vitesse instantanée peut-être lue aussi sur le graphique à partir de la représentation de la fonction vitesse.
L’accélération au temps t est le nombre dérivé de la fonction vitesse en t.
Ce qu’il faut retenir :
Soit la fonction horaire
La fonction vitesse est la dérivée de la fonction horaire.
L’accélération est la dérivée de la fonction vitesse.
Pour ne pas confondre le a de l’accélération avec le 2a résultat de la dérivation, appelons γ (Gamma) l’accélération.
Vecteurs
Sur l’avion s’exercent plusieurs forces :
Le poids est réparti sur les 3 roues de l’avion. La résultante P est la somme vectorielle de ces 3 forces P1;P2;P3 .
A chacun des poids réagit une force égale et opposée, la réaction R1;R2;R3 dont la résultante somme vectorielle de ces 3 force est R.
La force de traction Ft, celle qui fait avancer l’avion.
Les forces de frottement Ff, qui s’opposent à la force de traction.
nous constatons cette fois-ci que la force de traction est plus importante en intensité que la force de frottement. Ce qui se traduit en langage vectoriel par : 
Donc la somme vectorielle de toutes les forces appliquées sur l’avion ne sont pas égales au vecteur nul. 
On désigne la somme vectorielle de ces forces par FR. Et comme la somme de R et P est un vecteur nul , on peut écrire : 
On a donc une force constante non nulle.
On applique la deuxième loi de Newton.
On a donc un vecteur vitesse qui varie et un vecteur accélération qui est constant :
Le travail de cette force résultante sera donc :
Comme le travail d’une force sur un trajet AB est égale au produit scalaire des vecteurs Force et déplacement : 
On ne connaît pas l’intensité de la force FR .
Energie cinétique
Voyons ce qui se passe maintenant au niveau de l’énergie cinétique sachant que la masse de l’avion est de 800 kg. 
On calcule l’énergie cinétique en A , en B puis la variation de cette énergie cinétique entre A et B :
Nous savons que la variation de l’énergie potentielle entre A et B est égal au travail de la force pendant le trajet AB :
On en déduit l’intensité de la force de traction : 
Deuxième loi de Newton :
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées à un solide est égale au produit de la masse du solide par son vecteur accélération.