Les entiers relatifs 5-4-3
Sommaire
Je m’appelle Blanche.
je place toutes mes économies dans une tirelire en forme de goret (petit cochon) je rentre mes pièces par une fente placée sur son dos et pour les récupérer, je dois secouer le goret pour les faire sortir par la bouche.
Actuellement, j’ai 7 pièces de 1 Euro dans le ventre de mon goret.
Comme j’ai été très sage et que j’ai obtenu de bonnes notes à l’école, mes parents m’ont donné 3 euros que je place dans mon goret.
Ainsi j’ai 10 euros dans mon goret.
J’ai donc 10 Euros.
Mon frère Hugo me rappelle que je lui dois 5 Euros.
Il les veux tout de suite.
Je les récupère pour les lui rendre.
Ainsi il reste 5 Euros dans mon goret.
J’ai 5 Euros.
Mince, je viens de recevoir un appel téléphonique de ma soeur Louison à qui je dois 7 euros et qui me les réclame de toute urgence.
Je n’ai pas assez dans ma tirelire. Je vais lui donner tout ce que j’ai. Pour me souvenir que je dois 2 Euros je vais mettre 2 jetons rouges dans mon goret.
Je dois 2 Euros.
Décidément, j’avais oublié que je devais 4 Euros à ma petite soeur Léonore. Je lui demande de patienter et pour me souvenir que je dois encore 4 Euros, je rajoute 4 jetons rouge dans le ventre de mon goret.
Avec mon système de tirelire, j’utilise deux sorts de nombres entiers:
Des nombres bleus décrivant le nombre de pièces de 1 Euros que je possède dans ma tirelire. Ces nombres sont précédés d’un signe + Si certains n’ont pas de signe, c’est comme s’ils avaient un signe +
Des nombres rouges décrivant le nombre de pièces de 1 Euro que je dois à quelqu’un. Ces nombres sont précédés d’un signe -.
Quand j’ai une quantité d’argent, je met un + devant la quantité.
Quand je dois une quantité d’argent je mets un – devant.
Hier, il faisait exceptionnellement beau pour un mois de janvier.
En effet le thermomètre à alcool notait une température de 20° Celsius à midi.
A 15 h on s’est aperçu que la température avait augmenté de 5° et le thermomètre notait 25° C
Si hier la température était clémente, elle a commencé à diminuer à l’arrivée de la nuit.
Elle avait chuté de 10° d’un seul coup à cause d’une masse d’air froid venue de Sibérie. Et le thermomètre marquait 15° C .
Si le thermomètre marquait 15° C en début de nuit, vers minuit, la température continue de diminuer de 10°.Et le thermomètre marque -5° C.
C’est le matin et pendant la nuit, la température a continuer à beaucoup baisser de 10°.
Le thermomètre qui marquait -5° à minuit, nous indique une grande gelée avec -15° C.
Pour la température aussi, je procède de la même manière.
Si la température est positive, plus grande que 0° C je mets un signe + devant.
Si la température est négative, plus petite que 0° C je mets un signe – devant.
Dans l’ensemble des entiers naturels, je peux résoudre le problème suivant :
Quel nombre dois-je ajouter à 5 pour obtenir 12 ?
La réponse est 7 car 5+7=12
Mais dans l’ensemble des entiers naturels, je ne peux pas résoudre le problème suivant :
Quel nombre dois-je ajouter à 5 pour obtenir 3 ?
Je ne peux pas en ajoutant un nombre à 5 obtenir un nombre plus petit que 5.
Pourtant ce serait utile, même dans la vie quotidienne que cela puisse se faire.
Pour cela, il faut inventer d’autres nombres, les entiers relatifs, qui regroupent des nombres positifs et des nombres négatifs.
Et grâce à ces nouveaux nombres, je peux résoudre mon problème :
Le nombre que je dois rajouter à 5 pour obtenir 3 est -2.
Deux nombres (un couple) appartiennent à l’ensemble des entiers naturels.
a appartient à l’ensemble des Naturels
b appartient à l’ensemble des Naturels
Le couple a;b appartient à l’ensemble N croix N
Le couple a;b appartient à N²
Ces deux dernières affirmations expriment le fait que a appartient aux entiers naturels, ainsi que b
Pour chacun des couples de naturels ci-dessous, on effectue la soustraction indiquée : on obtient un nombre.
si a est supérieur à b, le résultat appartient aux naturels.
Si a est inférieur à b on effectue la soustraction b=a et on fait précéder le résultat du signe –
Si les deux couples sont tels que 
ils représentent le même nombre et on dit que ces couples appartiennent à la même classe.
Il y a une infinité de façon de représenter le même nombre par un couple : 
Pour construire l’ensemble des entiers relatifs on part des entiers naturels.
On choisit deux entiers naturels a et b. Il forment un coup)le que l’on note (a;b). On fait la soustraction a-b
on fait de même avec un autre couple (a’;b’).
Si a>b le résultat donne un entier naturel
Si a<b le résultat n’est pas un entier naturel.
On effectue quand même la soustraction b-a, le plus grand moins le plus petit et on place un signe – devant.
Si a-b et a’-b’ sont égaux, ils appartiennent à la même classe et représentent le même nombre au résultat.
Ainsi on obtient une série infinie de nombres positifs et une série infinie de nombres négatifs.
Ces deux séries constituent avec 0 les entiers relatifs.
Les entiers relatifs issus des entiers naturels, ne peuvent être que des entiers.
Les nombres relatifs n’existent pas même si on trouve cette expression dans les livres de quatrième.
A partir des entiers relatifs, on peut construire les nombres rationnels (fractions et nombres décimaux) puis les nombres réels.
Première convention d'écriture.
Dans un premier temps , pour bien comprendre, on écrira tous les entiers relatifs entre parenthèse avec leur signe qu’il soit positif ou négatif. 
Dans un second temps nous nous libérerons des parenthèses pour effectuer les calculs plus facilement et plus rapidement.
Relation d'ordre.
L’ensemble des entiers relatifs est un ensemble totalement ordonnée par la relation “plus petit ou égal à”
Tout entier relatif est plus petit ou égal à un autre.
Cette relation s’écrit mathématiquement par le signe 
Cela veut dire a est plus petit ou égal à b.
La relation d’ordre est réflexive. 
Ce ne doit pas être surprenant, en effet dans la relation plus petit ou égal, il y a égal. Et il est évident que a est égal à a.
La relation d’ordre est antisymétrique.
Une relation symétrique est définie par aRb implique bRa. La relation d’égalité est symétrique. a=b implique b=a.
Tandis qu’avec la relation d’ordre, ce n’est pas le cas.
-4 plus petit que -1 n’implique pas -1 plus petit que -4.
Par contre si -4 est plus petit ou égal à a et que a est plus petit ou égal à -4, alors nous pouvons en déduire que a est égal à -4
La relation d’ordre est transitive.
Si a est plus petit ou égal à b et si b est plus petit ou égal à c, on en conclue que a est plus petit ou égal à c.
Distance et valeur absolue
Ecriture de la valeur absolue de 6 et de -6 :
Un entier relatif est constitué de deux parties :
son signe + ou –
le nombre seul qu’on appelle valeur absolue.
On note la valeur absolue d’un entier relatif entre deux barres verticales.
Valeur absolue d’un entier relatif représenté par une lettre :
Parfois un entier relatif est représenté par une lettre.
Si la lettre a représente un relatif positif sa valeur absolue sera égale à a
Mais si la lettre représente un relatif négatif, sa valeur absolue sera égale à -a.
Ca paraît difficile à concevoir, mais en réfléchissant bien !
La valeur absolue, représente la distance à l’origine, au point 0 de l’entier relatif.
La distance à l’origine du nombre 6 est la valeur absolue de 6, soit 6.
La distance à l’origine de -6 est la valeur absolue de -6 soit aussi 6 (sans jeu d’allitération).
Addition
Règles de l’addition
Si les deux nombres sont de même signe,
on additionne leur valeur absolue,
on fait précéder le résultat du signe commun.
Si les deux nombres sont de signes contraires :
on soustrait leur valeur absolue (plus grand – plus petit),
on fait précéder le résultat du signe du plus grand nombre en valeur absolue.
Propriétés de l’addition des entiers relatifs.
Commutativité.
On peut intervertir les termes d’une addition d’entiers relatifs.
C’est intéressant pour faciliter les calculs.
C’est plus facile d’effectuer de tête 54 + 8 que 8 + 54.
Associativité.
Lorsqu’on a plus de deux entiers relatifs à additionner, on peut les regrouper, les associer, pour effectuer plus facilement les opérations, plutôt que de les calculer l’une après l’autre en partant du premier terme.
Elément neutre.
L’ensemble des entiers relatifs possède un élément neutre pour l’addition qui est 0.
Si on rajoute 0 à un entier relatif on obtient le même entier.
Dans une suite d’addition de relatifs, on peut éliminer tous les 0.
Symétrique.
Le symétrique d’un entier relatif s’appelle “opposé”. 
Si on rajoute son symétrique à un nombre, on obtient l’élément neutre.
Pour l’addition, le symétrique d’un entier relatif est l’opposé.
Dans les calculs, cela permet d’annuler deux à deux les opposés.
Soustraction
Règle pour la soustraction.
Pour soustraire deux entiers relatifs, on ajoute au premier l’opposé du second.
Il faut procéder en deux étapes :
Lorsque la soustraction a été écrite, on l’écrit à nouveau mais on remplace le signe – par un signe +. Puis on change le signe du deuxième nombre.
Ensuite on procède à une addition.
Multiplication
Règles de la multiplication.
En général on retient cette règle de la manière suivante :
Plus par plus égale plus
Moins par moins égale moins
Plus par moins égale moins
Moins par plus égale moins.
Il existe aussi un moyen mnémotechnique plutôt difficile à mémoriser mais qui est sympathique :
Les amis de mes amis sont mes amis.
Les ennemis de mes ennemis sont mes amis.
Les amis de mes ennemis sont mes ennemis.
Les ennemis de mes amis sont mes amis.
Il ne faut surout pas confondre la règle de la multiplication avec la règle de l’addition.
Propriétés de la multiplication des entiers relatifs.
Commutativité 
On peut intervertir deux facteurs d’une multiplication, on obtiendra le même résultat.
On a ainsi besoin de retenir que la moitié des résultats de la table de multiplication.
SI on connaît 4 fois 7, ou obtiendra 7 fois 4.
Si par exemple on me demande 7 fois 4 que je ne connais pas, dans ma tête j’interverti 4 fois 7 que je connais.
Lorsque les nombres sont représentés par des lettres, on a intérêt à les placer par ordre alphabétique, sinon on se perd.
Elément neutre.
Si on multiplie un entier relatif par 1 on obtient l’entier relatif de départ. 1 est donc un élément neutre dans l’ensemble des entiers relatifs et il est le seul.
Il n’existe pas de symétrique appartenant aux entiers relatifs.
Un symétrique a’ serait tel que a’ soit l’inverse de a. Or l’inverse d’un entier relatif est une division de 1 par cet entier relatif. Cette division n’a jamais pour résultat une entier relatif.
C’est une des raisons pour laquelle il nous faudra inventer d’autres nombres qui permettrons d’obtenir un résultat.
Elément absorbant.
Il existe un élément a des entiers relatifs tel que a multiplié par b quelconque donne a.
Cet élément est 0 et est appelé joliment élément absorbant.
Associativité.
On peut associer deux facteurs.
Cela permet de faciliter les calculs.
Il est plus facile d’effectuer 5 fois 4, vingt, puis de multiplier par -7 que d’effectuer -7 fois 5 puis de multiplier par 4.
De même quand on a plusieurs facteurs à multiplier
Distributivité sur l’addition.
C’est une propriété intéressante pour les calculs algébriques.
On peut distinguer la distributivité à droite ou la distributivité à gauche suivant la position du multiplicateur par rapport à l’addition.
Avec l’écriture des entiers relatifs telle que nous l’avons définie en début de chapitre, cette opération est fastidieuse, mais elle est beaucoup plus simple, lorsque nous écrirons les entiers relatifs d’une manière simplifiée.
La double distributivité permet de transformer le produit de deux sommes en somme de deux produits.
Division euclidienne
En divisant deux entiers relatifs, on doit obtenir un entier relatif comme résultat, puisque nous sommes dans l’ensemble des entiers relatifs. Cela signifie qu’on ne doit pas avoir de nombre décimal. Seule la division euclidienne est donc possible. Dans cette division de a par b on obtient un quotient entier q et un reste entier r.
Naturellement lorsque le diviseur b est plus grand que le dividende a, le résultat q est nul et le reste r égal au dividende.
On utilise la même règle des signes que pour la multiplication.
Ecritures et calculs simplifiés
Nouvelle notation.
Si on considère qu’un entier relatif est constitué d’un signe et d’un chiffre appelé valeur absolue, on peut supprimer la parenthèse.
Si l’relatif est positif et commence une ligne de calcul, on n’écrit pas son signe.
Nouvelle écriture de l’addition.
-5-8, on a deux moins, on ajoute, le résultat est négatif.
+5+8 on a deux plus, on ajoute, le résultat est positif.
5-8 on a un plus et un moins, on soustrait, le résultat est négatif . 8 est plus grand que 5 et son signe est –
-5+8 on a un moins et un plus, on soustrait, le résultat est positif , 8 est plus grand que 5 et son signe est +
On supprime le signe de l’addition. N’apparaissent que les signes des entiers relatifs devant leur valeur absolue, devant le chiffre.
Nouvelle écriture de la soustraction.
Compte tenu de cette nouvelle écriture, la soustraction n’a pas lieu d’être, puisqu’il suffit d’additionner des entiers de signes différents.
Nouvelle écriture de la multiplication.
On supprime les parenthèse sauf lorsqu’un signe moins succède au signe multiplier. Deux signes ne doivent pas se succéder sans parenthèse.
Tout cela est une question de bon sens.
Ecriture de la division euclidienne.
En algèbre on utilise très peu le signe de la division traditionnelle au profit de la barre de fraction.
SI on utilise ce signe on applique les mêmes règles d’écriture que pour la multiplication.
Par contre si on utilise la barre de fraction, les parenthèses sont totalement supprimées puisqu’il n’y a plus de signes qui se suivent.
Quelques calculs simples
Addition première manière 
1- on repère les deux premiers termes (associativité).
2- on calcule les deux premiers termes.
3- On calcule le résultat avec le troisième terme
Addition deuxième manière.
1- On rassemble les termes de même signe (commutativité).
2- On calcule les termes de même signe.
3- On calcule les deux termes restants.
Addition troisième manière.
1- on enlève toutes les parenthèses.
2- On additionne les deux premiers termes associativité.
3- On additionne les deux termes restants.
Addition quatrième manière.
1- on enlève toutes les parenthèses.
2- on rassemble les termes positifs (commutativité).
3- On additionne les termes positifs.
4- ,On ajoute le terme négatif.
Autre addition.
1- On rassemble les nombres positifs et les nombres négatifs. (commutativité)
2- On calcule les nombres positifs, puis les nombres négatifs. (Associativité)
3 – On calcule le résultat.
On peut déplacer, associer comme on veut, comme ça nous arrange, comme cela nous paraît le plus facile.
Suite de multiplication. 
1- Le nombre 7 n’ayant pas de signe est un nombre positif.
On compte le nombre de signes négatifs. S’il est pair, le résultat sera positif, s’il est impair, le résultat sera négatif. On a 3 signes négatifs, un nombre impair, donc le résultat sera négatif.
2- On regroupe les multiplications qui nous paraissent le plus faciles à calculer ( commutativité et associativité). Ici 7 fois 3 puis 5 fois 4.
3- On calcule le résultat de tête ou en posant la multiplication.
Priorités dans les calculs compliqués.
1- Parenthèses on calcule ce qui est entre parenthèse.
2- Dans le crochet on calcule le carré et le produit.
3- Dans le crochet on calcule le produit.
4- Dans le crochet on calcule la différence.
5- On peut grouper les entiers négatifs et calculer .
6- On termine par la somme.
A chaque étape, on a intérêt à trouver d’abord le signe et ensuite effectuer l’opération.
Toutes ces règles simplifiées de calculs sont valables pour tous les nombres qu’ils soient entiers, décimaux, fractionnaires, rationnels, réels et même complexes, que ce soient des calculs avec des chiffres ou avec des lettres ou avec les deux.
On les utilise aussi en géométrie.