Les nombres rationnels, les fractions 5-4-3
Entiers relatifs
Constatation :
Une partie de l’ensemble des entiers relatifs
Nous avons étudié dans un article précédent l’ensemble des entiers relatifs qui rassemblent les nombres entiers positifs et les nombres entiers négatifs se répartissant respectivement à droite et à gauche de 0.
Nous constatons qu’il n’existe aucun nombre entre chaque entier relatif.
Pourtant il serait utile qu’il en existe.
Prenons l’exemple d’une tarte. Si je la coupe en deux parts égales. J’obtiendrai deux moitiés de tarte. Comment exprimer en chiffres cette moitié ?
De même si je la partage en quatre je vais obtenir quatre portions. Comment exprimer par un nombre une portion de la tarte divisée en quatre ?
Il faut donc trouver un moyen pour “inventer” des nombres qui s’insèrent entre deux entiers relatifs consécutifs.
L’équation ax=b n’a de solution dans l’ensemble des entiers relatifs que si b est multiple de a.
En effet, si b est multiple de a, on obtient un entier lorsqu’ on divise b par a.
Par contre si b n’est pas un multiple de a, on n’obtient pas un entier lorsqu’on divise b par a, et dans ce cas là, on n’a pas de solution dans l’ensemble des entiers relatifs et il nous faut inventer d’autres nombres.
Construction des nombres rationnels
Relation de départ :
On choisit deux couples de nombres relatifs quelconque. Le premier élément a du couple appartient à l’ensemble des entiers relatifs, le deuxième appartient à l’ensemble des entiers relatifs privé de 0. C’est ce que signifie l’étoile placée après le deuxième Z. a peut être n’importe quel entier relatif. b peut être n’importe quel entier relatif sauf 0. Il est est de même de c et d.
A ces entiers relatifs, on leur fait subir le produit ad puis le produit cd. Pour que la relation R existe, il faut que ab=cd.
Les couples (3;4) et (6;8) obéissent bien à la relation R . Il en est de même des deux couples suivants.
Par contre les couples (5;4) et (6;8) ne sont pas en relation par R. Pareil pour (-2;5) et (-8;12).
Propriétés de cette relation.
Elle est réflexive.
Avec la relation R, tout couple d’entiers relatifs est en relation avec lui même.
Elle est symétrique.
Si dans l’ensemble des entiers relatifs un couple A est en relation par R avec un couple B, le couple B est en relation aussi avec le couple A.
Remarque : dans les exemples il est évident que l’on peut choisir des entiers négatifs. On ne le fait pas pour alléger la typographie.
Elle est transitive.
Si par la relation R appliquée dans l’ensemble des entiers relatifs, un couple A est en relation avec un couple B et ce couple B est en relation avec un couple C alors le couple A est en relation avec le couple C.
C’est une relation d’équivalence.
Rappel de cette relation R 
Cette relation que nous avons appelée R étant réflexive, symétrique et transitive est une relation d’équivalence.
Cela signifie que deux couples qui sont en relation sont équivalents.
Et grâce à la transitivité on peut trouver une infinité de couples équivalents à un couple de départ.
Le coupe (1;2) a une infinité de couples qui lui sont équivalents dans la relation R. Ce couple définit une classe d’équivalence de tous les couples qui lui sont équivalents.
Le couple (1;4) a aussi une infinité de couples qui lui sont équivalents. Il définit également une classe d’équivalence réunissant l’infinité de couples qui lui sont équivalents.
pareil pour le couple (3;4)
Exemples.
Le couple (1;2) est donc la fraction 1/2 qui signifie la moitié de 1. On a donc construit le nombre qui se trouve à mi chemin entre 1 et 2.
le couple (1;2) est équivalent aux infinités de couples (2;4) ; (3;6) ; (4;8)…….
La fraction
est équivalente aux fractions 
Puisque 
L’égalité des produits originaux de la relation R est bien respectée. C’est le fameux produit en croix.
Fraction irréductible.
On ne laisse jamais un nombre négatif au dénominateur.
prenons le couple (1;2) qui engendre la fraction
Cette fraction est irréductible car on ne peut pas diviser 1 et 2 par un même nombre. C’est la seule fraction irréductible de la classe d’équivalence (1;2).
Toutes les autres
Sont telles que leur numérateur et leur dénominateur peut être diviser par un même nombre ( 2;3;4) On obtient ainsi la fraction irréductible.
B appartient à l’ensemble des entiers naturels privé de 0 signifie que le dénominateur b d’une fraction sera toujours positif et différent de 0.
Ainsi le signe de la fraction, du nombre rationnel, sera toujours soit au numérateur soit devant la barre de fraction.
Lois de composition interne : opérations
On donne à l’ensemble Q, deux lois de composition interne. Si on compose avec une loi un nombre appartenant à l’ensemble des nombres rationnels avec un autre nombre appartenant à l’ensemble des nombres rationnels, on obtient, en résultat, un nombre appartenant à l’ensemble des rationnels.
Addition
Définition.
Cette définition de l’addition de deux couples de l’ensemble des entiers relatifs, sachant que le second entier de chacun des couples est différent de 0, peut paraître compliquée.
On constate tout d’abord qu’au résultat on obtient un couple d’entiers relatifs. C’est donc bien une loi de composition interne. (tout se passe dans l’ensemble des entiers relatifs).
Si on écrit l’addition sous forme de fraction et si on regarde bien le schéma ci-contre, ça paraît plus clair et cela nous rappelle la manière d’additionner deux fractions que l’on a apprise à l’école élémentaire.
un couple (a,b) est constitué de deux entiers relatifs appartenant donc à Z pour l’un et à Z* pour l’autre . La fraction a/b est bien aussi constituée de deux éléments appartenant à Z pour le numérateur et z* pour le dénominateur. Mais la fraction par elle même bien un nombre Q. En fait Q=Z X Z*
Dans la pratique.
Pour additionner deux fractions, on les réduit au même dénominateur, puis on ajoute les numérateurs entre eux. 
En suivant la définition de l’addition ci-dessus,on choisit 8 comme dénominateur commun. Pour avoir 8 on multiplie par 2 le dénominateur de la première fraction. Pour ne pas changer sa valeur, on doit multiplier son numérateur par le même nombre 2.
Pour avoir 8 comme dénominateur de la deuxième fraction, on le multiplie par 4, on doit en faire de même pour son numérateur. On aboutit au résultat d’une fraction qu’il faut simplifier par 2.
Autre méthode plus simple. On peut prendre 4 comme dénominateur commun. Et on continue avec le même processus.
On a intérêt pour simplifier les calculs à prendre comme dénominateur commun le plus petit multiple commun (PPCM) des deux dénominateurs. Un chapitre sera consacré à ce calcul.
L’addition des fractions est commutative : 
Pouvoir commuter les fractions, c’est-à-dire changer l’ordre d’écriture, cela permet parfois de faciliter les calculs.
Dans l’exemple ci contre, il est plus facile de déplacer 1/4 plutôt que de s’embarquer à réduire toutes les fractions au même dénominateur 24.
L’addition des fraction est associative.
Associer deux fractions pour en calculer la somme permet parfois de simplifier les calculs lorsqu’on doit effectuer la somme de plusieurs fractions.
Il est plus facile de regrouper, d’associer les deux premières fractions puis la 3ième avec la 4ième plutôt que réduire les 4 fractions en 24ième.
L’addition des fractions admet un élément neutre.
Calcul de l’élément neutre :
Vérification :
Cet élément neutre est tout d’abord une fraction dont le dénominateur par définition est différent de 0.
Ci-contre, nous avons cet élément neutre.
Pour trouver par le calcul cet élément neutre qu’on écrira pour l’instant a’/b’, il suffit de noter l’égalité suivante : si on ajoute l’élément neutre à une fraction, on trouve la fraction de départ pour résultat.
C’est ce que nous faisons ci-contre. Le but est de trouver la valeur de a’ et de b’.
On additionne les deux fractions selon la formule donnée en début du chapitre.
On identifie les deux numérateurs.
On calcule a’ et b’ en fonction du reste.
on trouve b’ en premier puis a’.
On vérifie pour terminer
L’addition des fractions admet un symétrique, appelé opposé. 
Vérification.
Il existe deux façons d’écrire l’opposée d’une fraction. Soit en écrivant le signe indiquant l’opposé, au numérateur, soit en l’écrivant devant la fraction. L’opposée d’une fraction négative étant une fraction positive, on ne met pas de signe à cet opposée.
Si on additionne un nombre avec son symétrique (son opposé pour l’addition) on obtient l’élément neutre. L’opposée d’une fraction est la fraction de signe contraire.
Multiplication
Multiplication.
Définition.
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
(a,b) et (c,d) sont deux couples dont le premier entier apartient à l’ensemble des entiers relatifs et le second appartient à l’ensemble des entiers naturels privé de 0. Cela indique que le deuxième nombre du couple ne doit être ni négatif ni nul.
La multiplication de deux couples a pour résultat le couple dont le premier nombre est le produit des premiers nombres de chacun des couples et le deuxième le produit des deuxièmes nombres de chacun des couples.
Avec l’écriture fractionnaire, les numérateurs appartiennent à l’ensemble des entiers relatifs tandis que les dénominateurs appartiennent à l’ensemble des entiers naturel privé de 0.
Le produit de deux fractions est une fraction dont le numérateurs est le produit des deux numérateurs et le dénominateur le produit des deux dénominateurs.
La multiplication des fractions est commutative. 
On peut changer l’ordre des couples pour les multiplier.
On peut changer l’ordre des fractions pour les multiplier.
Mieux, on peut mettre tous les numérateurs sur la même barre de fraction et tous les dénominateurs sous cette même barre de fraction. Puis on peut changer l’ordre des multiplications et l’ordre des dénominateurs indépendamment l’un de l’autre.
La multiplication des fractions est associative. 
Comme pour l’addition, on peut regrouper (associer) deux fractions pour faciliter les calculs.
Cela se fait rapidement avec l’habitude.
La multiplication des fractions admet 1/1 comme élément neutre. 
Le produit de toute fraction par cet élément neutre unique est égal à la fraction elle-même.
Toute fraction admet un symétrique appelé inverse. 
Démonstration :
Vérification :
Pour trouver l’inverse d’une fraction, il suffit d’inverser son numérateur et son dénominateur. Le numérateur est remplacé par son dénominateur et son dénominateur est remplacé par son numérateur.
Ne pas confondre l’inverse avec l’opposé qui est l’élément neutre de la multiplication.
En vertu de la règle de la multiplication.
La suite de cette démonstration est simplifiée.