Suites géométriques
Approche intuitive
“Actuellement la contamination par le corona virus est de 1 pour 2” annonçait un médecin au cours du mois de Mai 2020.
Cela signifie qu’une personne contaminée le premier jour , contamine 2 personnes le deuxième jour. Les deux personnes contaminées ce deuxième jour vont contaminer chacune deux autres personnes le troisième jour et on aura ainsi ce troisième jour 4 personnes contaminées en plus. Et ainsi de suite.
On peut résumer ces données dans un tableau ci -contre. On voit qu’on passe d’une case à l’autre (case du 1ier jour à la case du 2ième jour puis de la case du 2ième jour à ,la case du troisième ….) en multipliant par 2 le nombre de personnes contaminées en plus chaque jour.
V1 Le jour 1, 1 personne est contaminée
V2 le jour 2, 2 personnes sont contaminées,
en plus par la personne précédente qui est mise en quarantaine pour qu’elle ne contamine plus personne .
V3 le jour 3, 4 personnes sont contaminées
en plus par les deux personnes précédentes qui sont mises en quarantaine à leur tour.
et ainsi de suite.
Définition
Une suite 
, 
, est une suite géométrique si et seulement si il existe un nombre réel 
tel que pour tout entier naturel 
, 
.
D’après la définition ci-contre, chaque terme de la suite est calculé à partir du terme précédent. La définition nous donne une formule récurrente.
Si on prend l’exemple de départ, du nombre de personnes infectées par le virus covid 19 chaque jour, on obtient :
V1=1
V2=2V1=2
V3=2V2=4 ……..
Calcul de 
en fonction de 
A partir de V1, on calcule V2, V3,V4, avec la formule récurrente de la définition. et on aboutit aisément à la formule générale de Vn en fonction de n si le premier terme est V1
De même à partir de V0, on calcule V1,V2,V3 pour aboutir tout aussi aisément à la formule générale de Vn en fonction de n si le premier terme est V0.
Démonstration par récurrence de la deuxième formule (on aurait pu prendre la première) :
Il nous faut démontrer que :
. On voit que cette formule est vérifiée pour n=0.
En effet : 
avec 
Supposons qu’elle soit vérifiée pour n :. L’est-elle pour n+1 ? D’après la définition d’une suite géométrique : 
. Remplaçons Vn par sa valeur : 
, donc : 
.
Reconnaître une suite géométrique
étant une suite de nombres réels ne s’annulant pas, est une suite géométrique si et seulement si pour tout n appartenant aux entiers naturels, 
.
Démonstration avec V1 comme premier terme :
Démonstration avec V0 comme premier terme :
La suite ci-dessous est-elle une suite géométrique ? 
Pour cela nous calculons 
Nous aboutissons à une constante 2. Donc la suite est une suite géométrique de raison 2 et de premier terme 
La suite ci-dessous est-elle une suite géométrique ? 
En procédant de la même manière :
Nous n’aboutissons pas à une constante, puisque le rapport reste en fonction de n qui varie. La suite n’est donc pas géométrique.
On aurait pu procéder d’une manière moins élégante en calculant V1,V2,V3 d’après la formule puis les rapports V2/V1 puis V3/V2 pour s’apercevoir qu’ils n’étaient pas égaux.
Propriétés
Cette propriété permet d’écrire un terme de la suite Vn non plus en fonction du terme précédent, mais en fonction de son rang n.
Nous avons déjà vu cette propriété dans la deuxième partie de la définition. Et nous en avons fait la démonstration.
Les deux formules diffèrent selon que le premier terme est désigné par V0 ou V1.
Démonstration :
Si 
: 
et 
donc 
.
Si 
On sait que 
on peut donc écrire :
Et en utilisant les propriétés des proportions et des puissances :
Détail :
Entre Vp et Vn, il y a n-p termes (problème des intervalles).
Si la suite commençait par VP, si on avait V0 à la place de Vp on aurait Vn=V0qn-p Mais comme à la place de V0 on a Vp, on obtient la formule.
Ceci n’est pas une démonstration mais une explication.
L’ordre des indices p et n n’est pas précisé dans la formule.
La formule est applicable si p>n ou si p<n.
Exemples :
soit une suite géométrique de raison 2 . Sont 5ième terme est égal à 32. Calculer son 20ième terme et son 1ier terme.
Appelons V5 ce 5ième terme. Dans ce cas le premier terme sera V1.
Si on l’appelait V4, le premier terme serait V0.
Appliquons la formule pour n=20 :
appliquons la formule pour n=1 :
Génial, non ! Voici maintenant cette suite :
On peut s’amuser à calculer ce 20ième terme par récurrence, mais ….
En termes mathématiques plus élaborés. 
Cette propriété ressemble étrangement à la propriété des termes équidistants des suites arithmétiques. C’est la même principe sauf qu’au lieu de faire les sommes des termes équidistants d’un autre termes, on fait les produits.
C’est la forme généralisée de la propriété précédentes.
Démonstration : 
En termes mathématiques :
V1 est le 3ième terme de la suite avant V4.
V7 est le 3ième terme de la suite après V4.
V1 et V7 sont “équidistant” (à la même distance) de V4.
En appliquant la formule, on obtient : 
Somme des puissances consécutives d'un réel.
Démonstration :
On multiplie les deux membres de cette égalité par q :
On soustrait qS de S :
Donc :
Les puissances consécutives d’un nombre q sont générées par une suite géométrique de premier terme 1 et de raison q.
En sachant que q0=1 et q1=q :
Quelle est la somme des 4 premières puissances de 4 ?
Dans cet exemple, ce serait plus facile d’effectuer directement la somme. Mais si on devais faire la somme des 100 premières puissances de 52………….
Voyons voir :
Les 100 premières puissances de 52 sont telles que les exposants vont de 0 à 99, ce qui fait bien 100.
Il faut faire attention au fait que 520 est égal à 1.
En utilisant la formule, on trouve :
Bien sûr le calcul a été effectué à la calculatrice.
Mais on aurait pu le faire à la main grâce aux logarithmes.
Somme de k termes d'une suite géométrique
Démonstration :
Nous savons qu’un terme d’une suite géométrique est égal au terme précédent multiplié par la raison q. Pour le dernier terme on peut appliquer la propriété démontrée plus haut 
. Donc
On remplace dans l’équation du début.
On met Vp en facteur .
est la somme des premières puissances de q dont nous avons établi la formule précédemment :
que l’on traduira dans notre cas particulier par 
.
On aboutit donc à la formule :
Problème 1:
Le 3ième terme d’une suite géométrique de raison 3 est égal à 27. Quelle est la somme des 6 termes à partir du 3ième compris.
Précisons :
On part du terme de rang 3. C’est le 1ier de la somme
Le terme de rang 4 est le 2ième de la somme
Le terme de rang 5 est le 3ième de la somme
Le terme de rang 6 est le 4ième de la somme
Le terme de rang 7 est le 5ième de la somme
Le terme de rang 8 est le 6ième de la somme.
On doit donc calculer la somme des termes depuis le rang 3 au rang 8 compris, ce qui fait bien 8-3+1, soit 6 termes.
On utilise donc la formule : 
Vérification :
Le 3ième terme de la suite est égal à 27, donc le premier terme est égal à 3. A partir de là on peut donc construire la suite jusqu’à son huitième terme : 
La somme du 3ième terme, 27 au 8ième terme, 6561, soit la somme des 6 termes à partir du 3ième compris, est :
27+81+243+729+2187+6561 =9828.
Ouf c’est juste.
Problème 2
Calculer :
il s’agit de calculer le somme des puissances de 2 depuis n=5 jusqu’à n=7 :
. Il suffit d’utiliser la formule ci contre :
On aurait pu bien sûr calculer de cette manière :
.
Mais c’est moins amusant !
Sens de variation d'une suite géométrique
Le sens de variation d’une suite géométrique est conditionné par les valeurs de son premier terme V0 et de sa raison q.
Voyons toutes les possibilités.
1-Le premier terme est nul 
Il est évident que quelle que soit la raison, tous les termes de la suite sont nulle. 
2 -Le premier terme est strictement positif.
Le signe de cette différence dépend maintenant de la valeur de la raison.
Si q est positif et inférieur à 1
Nous en déduisons :
Donc 
Et 
Chacun des termes étant inférieur à son terme précédent, il est évident que 
25 réponses
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