Repère, point, droite, plan dans l’espace

par gabriel
dans Géométrie analytique, Géométrie spatiale, Mathématiques
sur 23 avril 2022

Repère orthonormé dans l'espace

Repère orthonormé dans l’espace.
Trois axes :
l’axe des abscisses X’OX en rouge
l’axe des ordonnées Y’OY en vert
l’axe des cotes Z’OZ en bleu
Sur chacun des axes un vecteur unitaire
Sur l’axe X’OX :

Sur l’axe Y’OY :

Sur l’axe Z’OZ :

Trois plans sont déterminées :
XOY Y’ en vert
XOZ X’ en rouge
YOZ Z’ en bleu
A partir de ce repère orthonormé on peut repérer tout objet dans l’espace : points, vecteurs, droites, cercles..
Les trois vecteurs

Constituent une base avec laquelle on pourra exprimer tout vecteur.

Coordonnées d'un point dans l'espace

Le point P a pour coordonnées (2;3;4).
On projette le point P sur le plan vert XOY parallèlement à l’axe bleu OZ.
On obtient le point U.
On projette le point U sur l’axe rouge OX parallèlement à l’axe vert OY.
On obtient le point W.
On projette le point U sur l’axe vert OY parallèlement à l’axe rouge OX.
On obtient le pont V.
On projette le point P sur le plan rouge XOZ parallèlement à l’axe vert OY.
On obtient le point T.
On projette le point T sur l’axe bleu OZ parallèlement à l’axe rouge OX.
On obtient le point S.
Les points W,V et S représentent respectivement l’abscisse, l’ordonnée et la cote du point P.
Le point P est le sommet d’un parallélépipède rectangle.

Si on ne fait pas toutes ces constructions, le point P paraît être situé dans le plan bleu YOZ, on n’a pas l’impression de perspective, ce qui donne une fausse interprétation.

Pour construire le point P, on place les points W et V, on construit le point U puis à partir de U, on peut construire le point P. Le tout est de bien respecter les parallélismes.

Coordonnées d'un vecteur dans l'espace

Vue de dessous

Vue de face : plan xoz

Soit dans le repère orthonormé (O,i,j,k) le vecteur MP de couleur mauve.
Le vecteur MP est la somme des vecteurs MO et OP (relation de Chasles)

Le vecteur MO est l’oposé du vecteur OM. Donc :

Or un vecteur est égal à x fois le vecteur unitaire i (rouge) des abscisses plus y fois le vecteur unitaire j (vert) des ordonnées plus z fois le vecteur k (bleu) de la cote.

D’après l’égalité vectorielle précédente on peut donc écrire :

Soit en supprimant la parenthèse :

Puis en regroupant les termes en vecteur i, puis en vecteur j puis en vecteur k:

On factorise par le vecteur i, puis le vecteur j, puis le vecteur k :

Autre écriture.
On note les coordonnées des vecteurs en colonne.

On utilise la relation vectorielle :

On continue avec les colonnes.

Soit

Dans l’exemple ci-contre :

On peut vérifier les coordonnées du vecteur MP grâce aux deux vues.
Avec la vue de dessous, on remarque que l’abscisse du vecteur MP est bien égale à -2 sur l’axe rouge. Elle est négative car le vecteur MP est dans le sens contraire du vecteur i.
Avec cette même vue on remarque aussi que l’ordonnée du vecteur MP est égale à3.

Avec la vue face au plan xoz, on remarque bien que l’abscisse du vecteur MP est bien toujours égale à -2 et que sa cote est égale à 1

Autres formules

Pratiquement, toutes les formules de la géométrie analytique plane sont valables pour la géométrie analytique dans l’espace; Il suffit d’ajouter aux formules planes une coordonnée supplémentaire, la cote.

Coordonnées d’un vecteur :

Coordonnées d’un vecteur :
L’abscisse d’un vecteur est égale à l’abscisse de son extrémité moins l’abscisse de son origine.
L’ordonnée d’un vecteur est égale à l’ordonnée de son extrémité moins l’ordonnée de son origine.
La cote d’un vecteur est égale à la cote de son extrémité moins le cote de son origine.

Produit d’un vecteur par un scalaire :

Si un vecteur v est égal à k fois un vecteur u.
L’abscisse du vecteur V sera égale à k fois l’abscisse du vecteur u,
l’ordonnée du vecteur v sera égale à k fois l’ordonnée du vecteur u,
la cote du vecteur v sera égale à k fois la cote du vecteur u.

Somme de deux vecteurs :

Somme de deux vecteurs :

Si un vecteur w est la somme des vecteurs u et v alors
l’abscisse du vecteur w sera la somme des abscisse des vecteurs u et v,
l’ordonnée du vecteur w sera la somme des ordonnées des vecteurs u et v,
la cote du vecteur w sera la somme des cotes des vecteurs u et v.

Norme d’un vecteur :

Norme d’un vecteur :

La norme d’un vecteur est la longueur de ce vecteur.

La norme d’un vecteur est égale à la racine carrée de la somme des carrées de chacune de ses coordonnées.
Autrement dit la norme d’un vecteur est gale à la racine carrée de
l’abscisse du vecteur élevée au carré plus
l’ordonnée de ce vecteur élevée au carré plus
le cote de ce vecteur élevée au carré.

Coordonnées du milieu d’un segment :

Un vecteur n’existe que par son représentant puisqu’un vecteur n’a pas de lieu fixe, il peut-être n’importe où dans l’espace pourvu qu’il soit défini par sa direction, son sens et sa longueur (sa norme). On ne peut donc pas parler du milieu d’un vecteur. Mais on peut parler du milieu d’un segment.

Les coordonnées du milieu d’un segment sont égales à la demisomme de chacune des corrdonnées des extrémités du segment.

L’ abscisse du milieu d’un segment est égale à la somme des abscisse des extrémités divisée par 2.
L’ordonnée du milieu du segment est égale à la somme des ordonnées de ses extrémités divisée par 2.
La cote du milieu d’un segment est égale à la somme des cote de ses extrémités divisée par 2.

Colinéarité :

Colinéarité :
Colinéarité = vecteurs qui ont même direction, qui sont parallèles.

Deux vecteurs u et v sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
C’est à dire si chacune des coordonnées du vecteur v est égale à k fois chacune des coordonnées du vecteur u.

Déterminant de deux vecteurs dans l’espace :

Il ne peut pas exister de déterminant de deux vecteurs dans l’espace.
En effet les déterminants sont calculés à partir d’une matrice carrée.
Dans la plan, on a deux coordonnées pour les vecteurs, on peut donc calculer le déterminant de deux vecteurs.

Par contre dans l’espace on a trois coordonnées, il est donc impossible de calculer le déterminant de deux vecteurs :

Il faut autant de vecteurs qu’on a de coordonnées.

On ne peut donc pas utiliser le déterminant pour prouver la colinéarité de deux vecteurs dans l’espace.

Seule la proportionnalité des coordonnées est possible.

Par contre ont peut calculer le déterminants de trois vecteurs.

Déterminant de trois vecteurs de l'espace

Soit trois vecteurs :

Nous allons calculer le déterminant de ces trois vecteurs de l’espace.

Pour cela rangeons les coordonnées de ces trois vecteurs dans 3 matrices carrées (3 lignes, 3 colonnes) afin de distinguer en rouge ce qu’on doit multiplier en premier lieu.

Le déterminant de ces 3 vecteurs est égal à :

Dans la première matrice, on multiplie la coordonne x₁ rouge par le déterminant de la matrice en rouge. On procède de la même manière avec x₂ et la matrice en rouge…

Pour terminer, il suffit de développer et réduire.

Exemple :

Calcul du déterminant

Rangement des coordonnées dans 3 matrices :

calcul du déterminant

Nous savons calculer les déterminants des matrices carrés, puis on développe, on réduit :

Autre façon : règle de Sarrus
On ajoute aux trois colonnes de la matrice les deux premières colonne de cette matrice (en bleu clair).
On trace les diagonales comme ci-dessous :
On additionne les produits des diagonales descendantes et on soustrait les produits des diagonales montantes.

On termine en effectuant les opérations.

Avec notre exemple

On ajoute les deux colonnes :

On trace les diagonales :
On additionne et on soustrait :

Vecteurs coplanaires

Deux vecteurs sont toujours coplanaires, sont toujours dans le même plan.
Trois points sont également coplanaires

Deux vecteurs de l’espace sont nécessairement coplanaires, situés dans le même plan.
C’est évident pour trois points.

En effet, nous savons qu’un vecteur défini par sa direction, son sens et sa longueur ne se situe pas dans un endroit particulier de l’espace.
Sur le cube ci-contre le représentant du vecteur U et le représentant du vecteur V ne sont pas dans le même plan.
Mais si nous changeons de représentant pour le vecteur V soit V’, on voit bien qu’ils sont dans le même plan.
Nos deux vecteurs U et V sont bien coplanaires quel que soit leur représentant.

Trois vecteurs sont coplanaires si et seulement si on peut trouver trois représentants de ces vecteurs situés dans un même plan.

Trois vecteurs non, colinéaires sont coplanaires si et seulement si les coordonnées de l’un sont une combinaison linéaire des deux autres.

Trois vecteurs sont coplanaires si leur déterminant est égal à 0.

Les trois vecteurs U,V,W sont coplanaires.

____________________________________________________________

Les représentants des vecteurs U,V,W en traits pleins ne semblent pas être dans le même plan.
Par contre les représentants de ces même vecteurs U,V,W en traits pointillés sont bien dans un même plan.

____

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Les vecteurs u,v et w sont coplanaires :

Ils ne sont pas colinéaires deux à deux (ils n’ont pas la même direction). Ils ne sont pas sur une même droite deux à deux.
D’autre part le vecteur w est égal à 1 fois le vecteur u plus 2 fois le vecteur v.

Dans un repère, pour démontrer que trois vecteurs sont coplanaires, il suffit de résoudre le système d’équation de trois équations à deux inconnues:

Les trois vecteurs ci-dessous sont-ils coplanaires ?

Il suffit de voir si un des vecteurs (on prendra le vecteur w par exemple) est égal à α fois le vecteur u + β fois le vecteur v. ce qui se résume ainsi avec les calculs qui en découlent :
—————————————————————————————————–
Avec la méthode du déterminant :

Produit scalaire dans l'espace

Soit un vecteur U et un vecteur V de l’espace. ils ne sont pas dans le même plan. Pour calculer leur produit scalaire il suffit de construire un représentant de chacun des deux vecteurs dans un même plan. Attention, on ne projette pas les vecteurs de l’espace sur un plan. On construit deux vecteurs ayant respectivement même direction, même sens et même longueur( norme) que les deux vecteurs de l’espace. En fait on faisait glisser par translation, les deux vecteurs vers un même plan. Les deux vecteurs de l’espace considérés ont pour représentants

et
.
Ainsi le produit scalaire des vecteurs U et V est égal au produit scalaire des deux vecteurs coplanaires AB et AC.
A partir de là, nous pouvons utiliser toutes les formules relatives au produit scalaire dans le plan.

Soit 4 points A,B,C,D déterminant deux vecteurs AB et CD

On sait calculer les coordonnées ou composantes des vecteurs AB et CD. Nous désignons ces coordonnées par les lettres X,Y,Z pour le vecteur AB et X’,Y’,Z’ pour le vecteur CD

Chacun de ces vecteurs peut aussi s’écrire

Ou encore

On en déduit le produit scalaire de ces deux vecteurs :

En distribuant les termes entre parenthèse, nous obtenons :

Or, les vecteurs i,j et k sont des vecteurs unitaires dans un repère orthonormé (axes perpendiculaires et unités identiques sur les trois axes)
Pour i² nous obtenons :

Nous pouvons effectuer le même calcul pour les vecteurs j et k :

Pour le produit scalaire i.j nous obtenons :

Il en est de même pour j.k et i.k :

En remplaçant ces résultats dans l’expressions du produit scalaire de AB et CD :

Soit 4 points A,B,C et D de coordonnées

que l’on peut repérer sur le graphique ci-contre.
Les composantes des vecteurs AB et CD sont donc :

Et leur produit scalaire :

Soit après calculs :

Dans l’espace, on obtient la même formule que dans le plan avec une composante (coordonnée) supplémentaire.

Produit vectoriel dans l'espace

Equation paramétrique d'une droite dans l'espace

Il n’est pas question de connaître les résultats obtenus ci-contre par coeur.
Il suffit de reproduire la démarche logique à partir du fait que les vecteurs AM et AB sont colinéaires.

Soit un repère orthonormé de l’espace
Soit 3 points A,B,M dont les coordonnées sont notées ci-dessous.
Nous en déduisons les coordonnées des vecteurs AM et AB.

Les trois points A,B et M appartiennent à la droite (AB), les vecteurs AM et AB sont donc colinéaires ce qui s’exprime par :

k étant un élément de l’ensemble des réels.
Nous en déduisons :

On obtient ainsi les trois équations paramétriques de paramètre k de la droite (AB).
Voyons un exemple concret représenté sur le graphique ci-contre: