Les fonctions trigonométriques
Fonction sinus(x)
Cliquer sur le bouton “initialiser/Démarrer “démarrer/arrêter” pour amener le curseur à 0. Cliquer ensuite sur le même bouton pour démarrer l’animation. On peut arrêter momentanément l’animation en cliquant sur la petite flèche “pause”. Re cliquer pour la faire repartir. On peut aussi avec la souris pointer (clique gauche) sur le curseur et le déplacer.
Au lieu de l’appeler x nous avons choisi de nommer la variable α. Cela ne change rien.
La variable α varie de 0 à 4π, environ 12,56. Elle est représentée sur l’axe des abscisses (horizontal). Nous nous sommes contentés des valeurs positives de α. Mais on remarque sur le graphique qu’elle peut prendre des valeurs négatives.
On voit cette variable augmenter sur le curseur en haut à gauche.
Pendant ce temps, le point B se positionne sur le cercle afin de former un angle ΩOB égal à α. Il s’agit ici de la mesure principale de cet angle α.
C’est-à-dire qu’on ne tient pas compte du nombre de tour qu’a effectué le point B. Sur l’animation ce point B effectuera 2 tours. Mais il pourrait en faire une infinité. Pour une question de largeur de la feuille, on se limite à 2 tours.
Le point A indique l’ordonnée du point B qui est aussi le sinus de l’angle α.
Le point M est aussi le sinus de l’angle α pris dans sa valeur réelle en tenant compte du nombre de tour de B sur le cercle.
Il se déplace selon une courbe rouge qu’on appelle sinusoïde.
Propriétés
Domaine de définition 
On peut prendre n’importe quel nombre x appartenant à l’ensemble des nombres réels on trouvera toujours une valeur correspondante au sinus de ce nombre.
Mathématiquement on traduit cela par les équations ci-contre qui signifient :
Quel que soit, ou pour tout x appartenant à l’ensemble des réels, il existe sin(x) appartenant à l’ensemble des réels.
Donc la fonction sinus x est définie sur l’ensemble des réels, c’est-à-dire de -∞ à +∞.
La fonction sinus est impaire 
D’après les formules trigonométriques nous savons que :
Nous en déduisons :
La fonction sinus est donc impaire.
Sa courbe est symétrique par rapport à l’origine.
La fonction sinus est périodique, de période 2π.
D’après les formules trigonométriques nous savons que :
Nous en déduisons :
La fonction sinus est donc périodique de période 2π.
Sa courbe se reproduit à l’identique tous les 2π.
Limite
Ce qui suit n’est pas une démonstration mathématique qui est dans la colonne de droite, mais une animation pour se représenter la limite en question.
La fonction 
n’est pas définie pour x=0, en effet la division par 0 n’a aucun sens.
l’abscisse du point M tend vers 0 par valeurs positives (son abscisse est toujours positive).
L’abscisse du point M’ tend vers 0 par valeurs négatives (son abscisse est toujours négative).
On voit que les ordonnées des points M et M’ tendent vers 1 sans jamais atteindre 1. Les points M et M’ ne peuvent pas être confondus avec le point A de la courbe. Ce point est censé ne pas exister. Mais comme un point n’a pas de surface, on ne peut pas représenter sur la courbe son interruption au point A.
Dans le repère orthonormé
le point M appartient au cercle 
. Soit 
en radians .
Considérons le premier cas où le point M est situé dans le premier quadrant du cercle :
.
Dans ce quadrant, 
On a aussi : 
On sait par hypothèse que 
On peut donc appliquer le théorème de Thalès.
Calculons les aires du triangle OIM, du secteur angulaire OIM et du triangle OIT :
En classant ces aires par ordre de grandeur on obtient :
En prenant la dernière inégalité :
que l’on introduit dans la double inégalité précédente : 
Divisons tout par h puisque h tend vers 0 mais n’est pas égal à 0.
en simplifiant 
En appliquant le théorème des gendarmes nous en déduisons que 
Une réponse
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