Mouvement circulaire uniforme
Quelques tours de voiture
Hugo qui a son permis de conduire et Louison qui va bientôt le passer s’amusent à conduire une voiture un dimanche sur le parking d’une grande surface, jour où aucune voiture n’est stationnée.
Hugo tourne les roues de la voiture au maximum vers la gauche.
Il appuie toujours avec la même force sur la pédale d’accélérateur.
Ainsi, la voiture va tourner sans arrêt toujours avec la même vitesse.
Il fait 5 tours et laisse le volant à Louison qui va conduire cette voiture de la même façon.
Clique sur le bouton “Initialiser/Démarrer”.
Clique une fois pour remettre à 0 éventuellement et clique une seconde fois pour démarrer l’animation.
Pour voir quelle est la trajectoire que suit la voiture, ils ont eu l’idée d’attacher un récipient à l’arrière de la voiture.
Il contient de la poudre bleue et lorsque la voiture démarre, un clapet ouvre le fond du récipient et laisse échapper sur le parking cette poudre bleue.
Ainsi, ils peuvent voir la trajectoire que suit la voiture.
Après avoir cliqué comme précédemment, tu vois que la poudre bleue forme un cercle.
C’est toujours le même cercle pour les 5 tours.
Ce qui n’est pas surprenant puisque les roues de la voiture restent braquées constamment de la même façon.
Pour étudier le mouvement de la voiture on a besoin d’un repère constitués de deux axes perpendiculaires :
un axe horizontal appelé axe des abscisses ou souvent axe des x,
un axe vertical appelé axe des ordonnées (et non pas axe désordonné) ou souvent axe des y ou des f(x).
Le point d’intersection de ces deux axes est le point A et correspond au centre du cercle bleu décrit par la voiture.
Chacun des axes est gradué selon la même unité en mètres.
Le rayon R du cercle mesure 4 mètres.
Le périmètre P du cercle (autrefois on disait la circonférence du cercle ) est donc égale d’après la formule bien connue P=2πR à 2×3,14×4=25,13 mètres.
La voiture effectue 5 tours, elle parcoure donc
L = 5×25,13 m=125,65 mètres.
Angle et abscisse curviligne.
Attention : le temps indiqué sur le curseur n’est pas un temps réel mais un temps fictif. En effet le décompte de ce temps dépend de la vitesse de l’appareil (ordinateur, tablette, téléphone) utilisé (Nombre de Hertz par seconde).
D’autre part pour faciliter les calculs on arrondi chaque fois les résultats trouvés sur l’animation.
Louison qui est novice démarre la voiture depuis le point de départ D. Au bout d’un moment, elle cale le moteur et la voiture s’arrête.
La voiture a parcouru l’arc de cercle DB1. Elle se situe à l’abscisse curviligne s= DB1 du point de départ D.
Ce qui donne en mètres en utilisant la mesure des angles en degrés : un cercle correspond à un angle de 360° et il a une longueur de 2πR (rayon multiplier par 2π). La longueur d’un arc de 1° sera 360 fois moins grande et la longueur d’un arc de θ° sera θ fois plus grande. C’est un raisonnement par règle de trois qu’on n’utilise hélas plus. 
Ou en utilisant la mesure des angles en radians :
Un cercle complet a une mesure de 2π radian et a une longueur de 2πR. La longueur d’un angle de 1 radian sera 2π fois plus faible et la mesure d’un angle de θ radian sera θ fois plus grande. 
La voiture a également parcouru l’angle θ. Elle est à l’abscisse angulaire θ de son angle de départ (par rapport à l’axe Ox ) qui est égal à 0
Louison laisse le volant à Hugo qui démarre la voiture à partir du point B1. Mais arrivé en B2, il calle aussi et la voiture s’arrête.
Hugo a parcouru la distance curviligne S1.
Il a parcouru l’angle θ1=226,5 ° ou en radian θ1= 3,95 rad ou 1,25 π rad.
Dorénavant, on utilisera la mesure des angles en radians. C’est plus commode pour les calculs. 
L’abscisse curviligne s du point B2 d’arrivée de Hugo est égale à l’abscisse curviligne s1 de son trajet plus l’abscisse curviligne s0 de son point de départ B1.
De même l’abscisse angulaire θ de son point d’arrivée en B2 est égale à l’abscisse angulaire de son trajet θ1 plus l’abscisse angulaire θ0 de son point de départ en B1.
Fonction linéaire du temps
La voiture démarre à partir du point D ou B0 au temps t0=0.
Elle roule toujours à la même vitesse jusqu’au point B2. Elle y arrive au temps t2=5 s.
Elle a parcouru un angle (en rouge) de 5 radians et un arc B0B2 correspondant de 5 radians multiplié par 4 m de rayon = 20 m.
A partir de là on peut définir deux sortes de vitesses.
Une vitesse angulaires ω, correspondant à l’angle parcouru en radians divisé par le temps mis pour le parcourir en secondes, pour obtenir des radians par seconde (rad/s) Ici, on aura 5 radians parcourus en 5 secondes. La vitesse angulaire sera donc de 5 divisé par 5 = 1 radian par seconde. Comme le mouvement est uniforme, à vitesse constante, l’angle parcouru est proportionnel au temps. 
Une vitesse curviligne V correspondant à la courbe parcourue (B0B2) en mètres divisée par le temps t2 mis pour la parcourir en secondes pour obtenir des mètres par seconde (m/s). La voiture a parcouru 20 m en 5 secondes, sa vitesse curviligne sera donc de V=20/5 = 4 mètres par seconde. Pour un mouvement à vitesse constante, la longueur du parcours s sera proportionnelle au temps. 
On peut calculer V en fonction de ω.
et donc 
La voiture démarre à partir du point D ou B1 au temps t1=0.
Elle roule toujours à la même vitesse jusqu’au point B2. Elle y arrive au temps t2=4 s.
Elle a parcouru un angle (en rouge) de 3,95 radians et un arc B1B2 correspondant de 3,95 radians multiplié par 4 m de rayon = 15,8 m.
La vitesse angulaire sera donc de 3,95 divisé par 4 = 0,9875 radian par seconde. Mais il faut tenir compte de l’origine des angles qui est en Bo. Entre B0 et B1 on a un angle θ0 =1,05 radian soit π/3 radians
L’angle mesuré à partir de B0 est une fonction linéaire du temps t :
On calcule la vitesse curviligne V correspondant à la courbe parcourue (B1B2) La voiture a parcouru 15,8 m en 4 secondes, sa vitesse curviligne sera donc de V=15,8/4 = 3,95 mètres par seconde. Le parcours mesuré à partir de B0 est une fonction linéaire du temps.
Amuse toi
Trouver les deux équations horaires.
A partir de ces deux équations trouver le parcours angulaire et curviligne de la voiture.
Clique sur Initialiser/Démarrer pour positionner la voiture en B1 si elle ne l’est pas.
Clique une seconde fois pour démarrer la voiture.
Clique quand tu veux sur la petite flèche pause en bas à gauche. La voiture s’arrête.
Relève sur un papier :
– le temps du parcours de la voiture à partir de B1.
– Le nombre de tour qu’elle a effectué.
– L’angle en rouge.
A partir de ces données tu peux :
– calculer la vitesse angulaire de la voiture.
– sa vitesse curviligne.
– l’équation horaire donnant l’angle parcouru θ1 à partir de B1.
– L’équation horaire donnant l’angle θ à partir de B0.
– l’équation horaire donnant le parcours curviligne s1 de la voiture à partir de B1.
– l’équation horaire donnant l’abscisse curviligne s de la voiture à partir de B0.
Recommence l’expérience.
Tu obtiens le temps qui te permet de calculer les angles et les parcours curvilignes grâce aux équations que tu as trouvé précédemment.
Vecteur position
la voiture part au temps t=0 du point B1 dont l’abscisse curviligne est s0 et l’abscisse angulaire θ0.
On sait que l’angle θ balayé par la voiture lorsqu’elle se déplace est une fonction linéaire du temps.
Le point B de la voiture qui se déplace sur le cercle a respectivement pour abscisse et ordonnée dans le repère cartésien (A,1,1) AH et AI
AH=4cosθ = 4 cos(ωt+θ0)
AI=4sinθ = 4 sin(ωt+θ0)
Donc le vecteur AB a pour coordonnées : 
Pour calculer la vitesse angulaire ω qui peut varier suivant les machines :
Faire tourner la voiture un certain nombre de tours :
Avec mon ordinateur, je trouve ω très proche de 1 radian par seconde. 
En démarrant la voiture, puis en l’arrêtant, on obtient un temps t. On peut calculer les coordonnées de AB avec les équations ci-dessus.
Vecteur vitesse
Rappel sur la vitesse moyenne
Entre les points B1 et B2 la voiture a parcourue l’arc B1B2 pendant un temps t2-t1.
sa vitesse moyenne est donc :
la longueur de l’arc parcouru divisé par le temps pour le parcourir. 
pour trouver cette vitesse moyenne, il suffit de calculer la longueur de l’arc parcouru B1B2 et de la diviser par le temps écoulé entre ces deux points.
Le vecteur vitesse instantanée est la limite du taux d’accroissement du vecteur position par rapport au temps. 
La vitesse instantanée est donc la dérivée du vecteur position par rapport au temps. 
Il suffit donc de dériver les composantes du vecteur position AB par rapport au temps t.
La valeur de la vitesse est égale à la norme du vecteur vitesse :
Application numérique
Faire tourner la voiture à partir de B1 et l’arrêter. On obtient le temps t mis pour effectuer le parcours.
Nous avons calculé précédemment les composantes du vecteur position pour l’application ci-contre :
On peut donc calculer les coordonnées du vecteur position qui doivent coïncider approximativement avec celles indiquées sur le graphique (Coordonnées de B en bleu).
Les équations des composantes du vecteur vitesse sont dans cette application :
Nous pouvons donc calculer les composantes du vecteur V qui doivent correspondre approximativement à celles indiquées en vert sur le graphique.
Notons au passage que les composantes du vecteur V sont bien égales aux coordonnées de E1 moins les coordonnées de B.et que la norme du vecteur V correspond bien à 4 unités.
Le vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur position. Vérifions que leur produit scalaire est égal à 0.
Comme le vecteur vitesse est perpendiculaire au vecteur position qui est en fait un rayon du cercle, le vecteur vitesse est tangent au cercle.
D’autre part la vitesse V étant constante on pourrait supposer qu’il n’existe pas d’accélération. Mais si la norme du vecteur V est constante, le vecteur V ne l’est pas puisqu’il tourne en même temps que la voiture. Donc il existe bien une accélération.
Vecteur accélération
Le vecteur accélération γ est la dérivée du vecteur vitesse v par rapport au temps et donc la dérivée seconde du vecteur position AB.
Les dérivées de chacune des composantes s’imposent en utilisant les formules des dérivées et les dérivées des fonctions composées. 
Or nous savons que les composantes du vecteur position sont : 
On en déduit : 
Et donc :
Le vecteur accélération est un vecteur qui a même direction que le vecteur position mais dont le sens est opposé.
L’intensité de cette accélération est égale à la norme de son vecteur. 
Dans notre application l’accélération est égale à 4m/s par seconde.
Accélération et force centripètes
Nous venons de voir que l’accélération est dirigée vers le centre du cercle du mouvement circulaire. Son vecteur représentatif est donc perpendiculaire au vecteur vitesse et nous l’avons vu dans un sens opposé à celui du vecteur position.
Cette accélération est relativement faible dans notre animation, mais elle peut prendre des valeurs importantes.
Pour une vitesse angulaire de 1 tour en 1 seconde soit 2π radians = 6.28 radians par seconde, sa vitesse curviligne serait V=Rω =4m x 6.28 radians par secondes = 25,12 m par seconde soit 90,5 km/h et l’accélération serait Rω²=4 x 6,28²= 157,75 mètre seconde par seconde, soit plus de 15 fois l’accélération gravitationnelle de la terre.
Une réponse
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