Epreuve de Bernoulli, schéma de Bernoulli, loi binomiale.
Table des matières
Exemple
Ci-contre un feu tricolore. qui fonctionne normalement. Il faut cliquer sur “initialisation / animation” et recliquer dessus pour “allumer le feu” (!).
L’alternance des couleurs est la suivante :
rouge pendant 60 secondes,
vert pendant 54 secondes,
orange pendant 6 secondes, avant de repasser au rouge.
Le temps total d’un cycle est de 120 secondes.
Ainsi la probabilité lorsqu’on arrive devant le feu tricolore d’avoir un feu rouge est :
La probabilité d’avoir un feu vert est :
La probabilité d’avoir un feu orange est :
En additionnant toutes ces probabilités qui correspondent aux 3 possibilités, aux 3 issues nous obtenons bien le chiffre 1.
Epreuves de Bernoulli
Feu tricolore
Lorsque le feu est rouge je dois m’arrêter.
Lorsque le feu est orange, je dois aussi impérativement m’arrêter.
Mais lorsque le feu est vert, je dois continuer ma route.
Considérons comme un succès le fait de pouvoir continuer ma route et un échec (le contraire d’un succès) le fait de devoir m’arrêter.
Si le feu est vert, je peux continuer c’est un succès.
Si le feu n’est pas vert (s’il est rouge ou orange), je dois m’arrêter c’est un échec ou un non succès.
Nous avons ainsi une alternative, deux possibilités seulement, deux issues.
La probabilité du succès, de pouvoir passer au feu vert est :
la probabilité de l’échec, du non succès sera donc :
puisque c’est une issue contraire au succès. Cette probabilité correspond bien à la somme des probabilités pour le feu orange et le feu rouge.
Définition
Une épreuve de Bernoulli de paramètre p (0≤p≤1) est une expérience aléatoire (soumise au hasard) comportant une alternative, donc deux issues, le succès ou l’échec. On note alors p la probabilité d’obtenir le succès et 1-p la probabilité d’obtenir l’échec.
Soit X une variable aléatoire et p un nombre réel tel que 0 ≤ p≤ 1. X suit une loi de Bernoulli de paramètre p si :
l’univers de X est Ω(X) = {0 ; 1} ;
P(X = 1) = p et P(X = 0) = 1 – p.
On note la loi de Bernoulli par B(p).
Exemples
En lançant une pièce de monnaie, elle retombe soit sur le côté pile soit sur le côté face.
On a donc une alternative, soit deux possibilités, deux issues.
Comme la pièce est bien équilibrée, elle a autant de chance de tomber sur le côté pile que sur le côté face.
Admettons que le succès soit le côté pile. La probabilité correspondante est p=0,5.
La probabilité contraire, la pièce tombe sur le côté face est également de 0,5 car 1-p=1-0,5=0,5. L’épreuve de Bernoulli se notera B(0,5)
Par contre si la pièce est pipée, c’est à dire truquée. Si on a collé sur son côté face une certaine quantité de pâte à modelée. Ce côté face étant plus lourd aura plus tendance de tomber contre le sol et ainsi on aura plus de chance d’avoir le côté pile en vue.
Admettons que cette probabilité d’avoir le côté pile soit p= 0,7.
La probabilité d’avoir le côté face sera 1-p=1-0,7=0,3. Cette épreuve de Bernoulli se notera B(0,7).
Dans un jeu de 52 cartes on tire une carte au hasard. C’est un succès si on tire une figure, si non c’est un échec.
Une figure est une carte représentant un personnage; Il s’agit des cartes suivantes : Valet, Dame, Roi.
Il existe donc trois figures dans chacune des couleurs : trèfle carreau, coeur, pique.
Il existe donc 3 X 4 = 12 figures dans un jeu de 52 cartes.
La probabilité de tirer une figure sera donc 
Et la probabilité de ne pas tirer une figure sera :
L’épreuve de Bernoulli en question se notera 
Noter qu’on aurait pu prendre comme succès le fait de ne pas tirer une figure !
Dans un atelier on peint en bleu des joints toriques. On estime que 5% de ces joints ne sont pas peint correctement.
On tire au hasard un joint torique, s’il est défectueux , s’il est mal peint on considère que c’est un succès. Dans le cas contraire si le joint est peint correctement on considère que c’est un échec.
La probabilité de tirer un joint défectueux est :
La probabilité d’avoir un joint correctement peint est :
L’épreuve de Bernoulli se notera 
.
Shéma de Bernoulli
Reprenons l’épreuve de Bernoulli concernant les feus tricolores.
Cette fois, il existe trois feus successifs.
Pour décrire la situation, nous avons besoin d’un arbre de probabilités construit ci-contre.
Au premier feu, première alternative donc deux possibilités.
Soit le feu est vert, soit il n’est pas vert notés respectivement :
Au deuxième feu, deuxième alternative, encore deux possibilités parmi les deux possibilités précédentes.
En effet, si le premier feu est vert, nous avons deux possibilités pour le deuxième feu.
Et si le premier feu n’est pas vert, nos avons aussi les deux mêmes possibilités pour le deuxième feu.
Au troisième feu, troisième alternative et nous avons deux possibilités parmi les quatre possibilités précédentes.
En suivant toutes les branches de l’arbre une par une, nous obtenons toutes les possibilités au sujet de nos trois feus tricolores.
Exemples :
le premier feu est vert, le deuxième est vert, le troisième est vert.
le premier feu est vert le deuxième n’est pas vert, le troisième n’est pas vert .le premier feu n’est pas vert, le deuxième et le troisième ne sont pas verts.
Ainsi nous avons 8 cas possibles que nous allons résumé dans le prochain arbre avec les probabilités correspondantes.
Quelle est la probabilité que les trois feus soient verts ?
Cette éventualité correspond à la première branche 
. or nous savons que la probabilité pour qu’un feu soit vert est de 0,45.
Nous pouvons donc écrire :
Dans le tableau, nous avons rajouté (0,55)0 qui est égal à 1 et qui ne change rien au résultat. Nous verrons plus loin pourquoi cet artifice.
Quelle est la probabilité pour que le premier feu soit rouge, puis le deuxième soit vert et le troisième soit rouge dans cet ordre ci.
Il s’agit de la branche 
.
Quelle est la probabilité pour qu’un seul feu soit vert.
Dans ce cas on trouve trois possibilités : 
On trouve trois fois le même résultat. C’est le nombre de 1 feu vert parmi 3.
Résumons :
Au départ on considère une épreuve de Bernoulli qui est une alternative, deux possibilités seulement, l’une considérée comme un succès 
et l’autre comme un non succès, non S 
On détermine le paramètre de cette épreuve comme étant la probabilité du succès. 
L’échec ou non succès aura comme probabilité 
Cette épreuve de Bernoulli sera nommée 
On répète n fois .cette épreuve de Bernoulli (3 fois dans notre exemple puisqu’il a trois feus tricolores, Cette répétition est appelée schéma de Bernoulli. On détermine une variable aléatoire X qui prend pour valeur le nombre de succès obtenus. (0,1,2,3 dans notre exemple).
Cette variable aléatoire a pour loi de probabilité :
k est la valeur que prend successivement la variable aléatoire X .
X suit une loi binomiale de paramètres n et p 
Ainsi les coefficients 1,3,3,1 correspondent au nombre de combinaisons de k objets parmi n objets, dans ce cas au nombre de feus verts traversés parmi les trois feus verts.
Ce nombre de combinaison est donné par la formule : 
sachant que 
et que 0!=1
Il existe deux écritures différentes pour nommer les combinaisons :
Si X est la variable aléatoire donnant le nombre de feus verts rencontrés, nous pouvons écrire les probabilités de chaque éventualité. 
On vérifie que la somme de ces quatre probabilités est égale à 1.
Nous pouvons donc définir une formule donnant les différentes probabilités selon les valeurs d’une variable aléatoire. Voir ci-contre.