Probabilités conditionnelles
Quelques rappels indispensables
Expérience aléatoire
Action dont on ne peut pas prédire le résultat appelée issue. et qui est le fait du hasard. Par exemple :
lancer un dé à six faces
tirer une carte dans un jeu de 32 cartes
prendre une boule dans un sac contenant des boules de différentes couleurs,
jouer au loto
Univers de l’expérience aléatoire, ce sont tous les résultats possibles. 
Eventualité un résultat possible.
Evènement : ensemble des résultats possibles 
Union de deux évènements A ou B 
Intersection de deux évènements A et B 
Evènement contraire ou complémentaire.
Evènements incompatibles.
Cas concret
Enoncé et analyse de l'énoncé
D’après le «bilan des examens du permis de conduire» pour l’année 2014 publiée par le ministère de l’Intérieur en novembre 2015,
20 % des personnes qui se sont présentées à l’épreuve pratique du permis de conduire avaient suivi la filière de l’apprentissage anticipé de la conduite (AAC). Parmi ces candidats, 75 %ont été reçus à l’examen.
Pour les candidats n’ayant pas suivi la filière AAC, le taux de réussite à l’examen était seulement de 56,6 %.
Dans un premier temps on considère deux catégories de candidats :
- ceux qui ont suivi l’apprentissage par AAC (conduite accompagnée) : ils sont 20% des candidats.
- Ceux qui n’ont pas suivi leur apprentissage par AAC : ils sont évidemment 80% de la totalité (100%) des candidats.
- ceux qui ont réussi le permis : ils sont 75% parmi ceux qui ont suivi la filière AAC et 56,6% parmi ceux qui n’ont pas suivi la filière AAC.
- Ceux qui n’ont pas réussi leur permis. On ne donne pas d’information pour ces derniers. Il faut les trouver.
Si parmi ceux qui ont suivi la filière AAC 75% ont réussi, il en reste 25% de ceux-là qui n’ont pas réussi.
Pareillement si 56,6% de ceux qui n’ont pas suivi la filière AAC ont réussi, il en reste 100%-56,6%= 43,4% qui n’ont pas réussi.
Construction de l'arbre
Cocher les cases dans l’ordre indiqué pour voir apparaître les différentes branches de l’arbre avec leur pourcentage.
On appelle pondération les pourcentages de chacune des branches.
Occupons nous tout d’abord des candidats ayant suivit ou n’ayant pas suivi la formation AAC. Il s’agit des cases à cocher écrites en bleu.
- En cochant la case “1-Candidats AAC” apparaît une branche désignant ces candidats avec leur pourcentage.
Apparaît alors une branche désignant ces candidats avec leur pourcentage. - En cochant la case “2-candidats non AAC” apparaît une seconde branche désignant ces candidats qui n’ont pas suivi l’apprentissage AAC, la conduite accompagnée avec leur pourcentage
Occupons nous ensuite de la réussite ou de l’échec des candidats dans chacune des branches bleues. Il s’agit des cases à cocher écrites en rouge.
- En cochant la case “3-réussite AAC” apparaît une branche rouge désignant les candidats de la catégorie AAC ayant réussi avec leur pourcentage.
- En cochant la case “4-EchecAAC”
apparaît une deuxième branche rouge désignant les candidats de la catégorie AAC ayant échoué, avec leur pourcentage. - En cochant la case “5-Réussite non AAC”
apparaît une troisième branche rouge désignant les candidats de la catégorie non AAC ayant réussi, avec leur pourcentage. - En cochant la case “6-Echec non AAC”
apparaît une quatrième branche rouge désignant les candidats de la catégorie non AAC ayant échoué, avec leur pourcentage.
Finalisation de l'arbre et interprétation.
Sur 100 candidats : 20 ont suivi la conduite accompagnée AAC et 80 ne l’ont pas suivie.
Prenons au départ 10 000 candidats pour avoir des nombres entiers de candidats.
sur 10 000 candidats 2 000 ont suivi la conduite accompagnée et 8 000 ne l’ont pas suivie.
Parmi les 2 000 qui l’ont suivie, 75% de 2 000ont réussi soit 1500 et 25% de 2 000 ont échoué soit 500 candidats.
Attention : c’est 75% des 20% donc des 2 000 et non pas 75% des 10 000 candidats.
En continuant on trouvera 2 000 et 8 000 pour la colonne bleue.
1500; 500; 4528; 3472 pour la colonne verte.
Colonne Bleue :
Elle désigne le pourcentage des candidats AAC (conduite accompagnée) ou non AAC parmi tous les candidats.
Sur 100% de candidats : 20% ont suivi la conduite accompagnée et 80% ne l’ont pas suivie.
Sur Ω=10 000 candidats, 2 000 ont suivi la conduite accompagnée et 8 000 ne l’on pas suivie.
Colonne rouge :
Elle désigne le pourcentage de réussite ou non pour chacune des catégories AAC ou non AAC.
Les deux premières branches rouges désignent le pourcentage de réussite ou d’échec parmi les candidats AAC( conduite accompagnée)
75% des AAC des 2 000 candidats ont réussi et 25% des 2 000 on échoué. ΩA=2 000
Les deux dernières branches rouges désignent le pourcentage de réussite ou d’échec parmi les non AAC.
56,6% des 8 000 non AAC ont réussi et 43,4% des 8 000 AAC ont échoué. ΩnonA=8 000.
.
Colonne verte :
Elle désigne le pourcentage de réussite ou d’échec parmi tous les candidats.
Première branche verte : 75% des candidats AAC ont réussi, or ces candidats AAC sont parmi les 20% de tous les candidats.
Il y a donc 75% de 20% qui ont réussi ce qui donne 15% de tous les candidats.
On procède de la même manière pour toutes les branches vertes.
Au final : 15%+5%+46,28%+34,72%=100%.
Arbre de probabilité.
Pour plus de clarté dans l’écriture nous avons remplacé AAC par A tout court désignant les candidats ayant eu un apprentissage par conduite accompagnée.
A la sortie de l’examen du permis de conduire un journaliste rencontre un candidat au hasard pour l’interroger.
Puisque 20% des candidats ont suivi la conduite accompagnée, il aura 20 chances sur 100 de trouver un tel candidat soit une probabilité de 20 divisé par 100 égale 0,2
On continue ainsi pour tous les cas de figure en remplaçant les pourcentages par une probabilité. Il suffit de diviser par 100 le chiffre du pourcentage. Ce qui donne le tableau suivant :
Dans la deuxième colonne de l’arbre sont notées les probabilité conditionnelles, les probabilités de la réussite ou de l’échec sachant que le candidat a suivi ou pas suivi la conduite accompagnée.
Colonne bleue :
Probabilité pour laquelle le candidat a suivi la conduite accompagnée 0,2.
Probabilité pour laquelle le candidat n’a pas suivi la conduite accompagnée 0,8.
Colonne rouge :
Probabilité pour laquelle le candidat a réussi par rapport à la probabilité pour laquelle il a suivi la conduite accompagnée.
Probabilité de l’échec sachant qu’il a suivi la conduite accompagnée.
Probabilité de R sachant A.
Probabilité de la réussite sachant qu’il n’a pas suivi de conduite accompagnée.
Probabilité de R sachant non A
Probabilité de l’échec sachant qu’il na pas suivi de conduite accompagnée.
Probabilité de non R sachant non A.
Colonne verte :
Ce sont les 4 probabilités correspondant à
Probabilité de A et probabilité de R
Probabilité de A et probabilité de non R
Probabilité de nonA et probabilité de R
Probabilité de non A et probabilité de non R
Formules
La probabilité que le candidat ait suivi la conduite accompagnée et ait réussi est égale à la probabilité qu’il ait suivi la conduite accompagnée multiplié par la probabilité qu’il ait réussi sachant qu’il avait suivi la conduite accompagnée.
La seconde formule se trouve algébriquement à partir de la première.
La probabilité que le candidat ait suivi la conduite accompagnée et ait échoué est égale à la probabilité qu’il ait suivi la conduite accompagnée multiplié par la probabilité qu’il ait échoué sachant qu’il avait suivi la conduite accompagnée.
La seconde formule se trouve algébriquement à partir de la première.
La probabilité que le candidat n’ait pas suivi la conduite accompagnée et ait réussi est égale à la probabilité qu’il n’ait pas suivi la conduite accompagnée multiplié par la probabilité qu’il ait réussi sachant qu’il n’avait pas suivi la conduite accompagnée.
La seconde formule se trouve algébriquement à partir de la première.
La probabilité que le candidat n’ait pas suivi la conduite accompagnée et ait échoué est égale à la probabilité qu’il n’ait pas suivi la conduite accompagnée multiplié par la probabilité qu’il ait échoué sachant qu’il n’avait pas suivi la conduite accompagnée.
La seconde formule se trouve algébriquement à partir de la première.
Définition des probabilités conditionnelles.
Définition :
On appelle probabilité conditionnelle de 𝑩 sachant 𝑨, la probabilité que l’événement 𝐵 se réalise sachant que l’événement 𝐴 est réalisé. On la note : 𝑃A(𝐵).
Important :
La probabilité de B sachant A est la probabilité de B à partir de la probabilité de A. C’est en quelque sorte une probabilité d’une autre probabilité.
Probabilités totales
Quelle est la probabilité de réussite du candidat parmi tous les candidats ?
Sur l’arbre, nous avons deux branches correspondant à cette question, elles sont surlignées en jaune. 
A et non A constituent une partition (partage) de l’univers de départ Ω
La totalité des probabilité possibles est égale aux probabilité que les candidats aient suivi la conduite accompagnée plus les probabilités que les candidats n’aient pas suivi de conduite accompagnée. 
Ainsi p(R)=0,15+0,4528=0,6028
Quelle est la probabilité que le candidat ait suivi la conduite accompagnée parmi ceux qui ont réussi ?
C’est la probabilité de A sachant R.
Avec un tableau
Autre énoncé du même problème et analyse.
D’après le «bilan des examens du permis de conduire» pour l’année 2014 publiée par le ministère de l’Intérieur en novembre 2015,
60,28% ont réussi le permis de conduire.
20% ont suivit la conduite accompagnée AAC.
5% qui ont suivi la conduite accompagnée ont échoué.
Cette fois toutes les statistiques, tous les pourcentages sont donnés par rapport à la totalité 100% des candidats.
Pour résumer cette situation, nous allons élaboré un tableau.
Il existe d’après l’énoncé
une première catégorie de candidats : ceux qui ont réussi R et ceux qui qui n’ont pas réussi non R.
Une seconde catégorie, ceux qui ont suivi la conduite accompagnée AAC et ceux qui ne l’on pas suivi non AAC.
Dans un tableau à double entrée notons les AAC et non AAC sur la ligne du haute et les R et non R sur la colonne de gauche.
Introduisons dans ce tableau les données de l’énoncé.
Attention : ne pas confondre 5% qui ont suivi la conduite accompagnée ont échoué : c’est 5% du total des candidats.
et 5% de ceux qui ont suivi la conduite accompagnée ont échoué. C’est 5% des 20% qui ont suivi la conduite accompagnée.
On complète le tableau.
Les 5 cases du tableau se remplissent en faisant glisser le curseur vers la droite de 1 à 5.
Pour la suite laisser le curseur sur 5.
Maintenant complète le tableau :
Pour chacune des 3 lignes et chacune des 3 colonne si deux cases sont remplies ont peut remplir la troisième.
Curseur sur 1 case de la ligne 1 colonne 1,
case (L1,C1): Le total est de 20% .
La somme des cases (L1,C1) et (L2,C2) doit être égale à 20%.
Donc la case (L1,C1) est égale à 20% – 5% soit 15%
Curseur sur 2 remplissage de la case ( L1,C2)
Curseur sur 3 remplissage de la case (L2,C3)
Curseur sur 4 remplissage de la case (L2,C2)
Curseur sur 5 remplissage de la case (L3,C2)
Calcul des probabilités conditionnelles avec le tableau
- On choisi la catégorie à partir de laquelle on veut calculer la probabilité.
-La colonne AAC donne toutes les informations concernant les candidats ayant suivi la conduite accompagnée : le pourcentage de réussite, le pourcentage d’échec et le pourcentage total par rapport à l’ensemble des candidats.
-La colonne non AAC de la même manière donne toutes les informations concernant les candidats n’ayant pas suivi la conduite accompagnée.
– La ligne R donne toutes les informations concernant les candidats ayant réussi l’examen, le pourcentage de ceux qui avaient suivi la conduite accompagnée, le pourcentage de ceux qui ne l’avaient pas suivi et le pourcentage total par rapport à l’ensemble des candidats.
– La ligne non R donne de même toutes les informations au sujet des candidats qui n’ont pas réussi l’examen. - Il ,suffit ensuite de diviser le nombre de la case dont on veut calculer la probabilité par le nombre de la case total de la catégorie concernée.
Case “Sachant AAC”: il s’agit de calculer la probabilité qu’un candidat ayant suivi la formation AAC réussisse.
Cela correspond à la probabilité conditionnelle : probabilité de réussite sachant AAC.
On surligne la colonne AAC. Dans cette colonne on trouve 15% de réussite sur les 20% de candidats ayant suivi la conduite accompagnée.
Et, oh miracle, on trouve la même valeur que sur l’arbre !
Continuons :
Quelle est la probabilité d’échec parmi les candidats ayant suivi la conduite accompagnée. 
Case “Sachant Non AAC”
Quelle est la probabilité de réussite parmi les candidats n’ayant pas suivi la conduite accompagnée. 
De même :
Case “Sachant R”
Quelle est la probabilité qu’un candidat ayant réussi ait suivi la conduite accompagnée.
La ligne surlignée en rouge indique tous les candidats ayant réussi soit 60,28%. Parmi ceux-ci 15% ont suivi la conduite accompagnée.
De même :
Case “Sachant Non R”
On trouve bien sûr les mêmes valeurs qu’avec l’arbre.
probabilité et indépendance
Deux évènements A et B sont indépendants si la réalisation de l’un n’affecte pas la réalisation de l’autre. En général les expériences avec remise donnent des évènements indépendants.
Deux évènements A et B sont dépendants si la réalisation de l’un affacte la réalisation de l’autre. En général des expériences sans remise donent des évènements dépendants.
Définition :
Pour que deux évènements 𝐴 et 𝐵 soient indépendants il faut et il suffit que 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵).
Autrement dit :
pour que deux évènements A et B soient indépendants, il faut et il suffit la probabilité des deux évènements simultanés soient égale aux produit des probabilités des deux évènements se produisant séparément. 
Soit un jeu de 52 cartes : il possède 4 couleurs : trèfle, carreau, coeur pique dont 2 sont rouge et 2 noires.
Dans chaque couleur il y a 13 cartes ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,V,D,R)
Probabilité de tirer un trèfle :
Probabilité de tiré un roi :
Probabilité de tirer le roi de trèfle :
Or 
Tirer un trèfle et tirer un roi sont deux évènements indépendants.
La plupart du temps il y a 2 jokers dans un jeu de 52 cartes qui a donc en réalité 54 cartes.
Reprenons les calculs précédents avec le jeu de 54 cartes. 
Tirer un roi ou tirer un trèfle ne sont plus des évènements indépendants dans ce jeu de cartes.
Deux évènements sont indépendants si la probabilité de B sachant A est égale à la probabilité de B ou bien si la probabilité de A sachant B est égale à la probabilité de A. 
Deux évènement sont dépendant si 
on considère deux urnes U1 et U2contenant chacune n boules rouges et 2n boules vertes.
1-On tire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilité d’obtenir deux boules vertes.
2-On tire une boule dans U1, on la met dans u2, puis on tire une boule dans U2. Quelle est la probabilité dans ces deux tirages d’obtenir deux boules vertes.
Soit A =”on tire une boule verte dans U1″
B=”on tire une boule verte dans U2″
Pour la première question, les deux évènement sont indépendants, le fait de tirer une boule dans la première urne n’affecte ni le nombre de boules de la deuxième urne ni leur répartitions en boules vertes et rouges.
Les secondes branches du premier arbre n’ont rien à voir avec les premières.
On utilisera la formule : 
Par contre pour la seconde question, les deux évènements sont dépendants, l’évènement B dépend du résultat de l’évènement B. IL y aura une boule de plus dans l’urne U2 et selon le tirage dans la première urne, elle sera verte ou rouge. Ainsi on utilisera la formule 
On lance une pièce de monnaie puis un dé cubique.
Quelle est la probabilité d’avoir un pile et de ne pas avoir un 1 ?
Soit A=”obtenir un pile” et B=”obtenir un 1″.
Ces deux évènements sont indépendants. 
