Implication
Les propositions
les propositions
La terre est ronde : proposition vraie
La terre n’est pas ronde : proposition fausse.
La lune est une étoile ; proposition fausse.
La lune n’est pas une étoile: proposition vraie.
Une proposition est un énoncé qui est soit vrai, soit faux.
La proposition fausse peut-être la négation de la proposition vraie
Inversement la proposition vraie peut être la négation de la proposition fausse.
les propositions mathématiques
Une proposition peut être un énoncé mathématiques soit vrai, soit faux, mais jamais les deux à la fois.
Cet énoncé peut être écrit en français ( ou en anglais, chinois….)
Il peut être écrit en langage mathématique avec des symboles connus.
représentation d'une proposition
Tables de vérité de deux propositions P et Q totalement indépendantes.
Une proposition peut-être représentée par une lettre.
En général on choisira P,Q ou R
La véracité d’une proposition est indiquée par la lettre V ou le chiffre 1.
La fausseté d’une proposition est indiquée par la lettre F ou le chiffre 0
On dresse ainsi une table de vérité d’une proposition qui est soit vraie soit fausse .
Négation d'une proposition
Table de vérité d’une proposition P et de sa négation non P.
Il est évident que si P est vraie, non P est fausse et réciproquement
Si P=”il pleut”
Pour P : soit il pleut, soit il ne pleut pas.
Pour non P soit il pleut soit il ne pleut pas.
La négation d’une proposition est notée 
non P est vraie si P est fausse.
non P est fausse si P est vraie
Parfois on note la négation d’une proposition par une autre proposition.
Ainsi
P=”les droites d et d’ sont parallèles”
non P = “les droites d et d’ ne sont pas parallèles”
non P= P’= “les droites d et d’ sont concourantes”.
Il faut faire attention à certaines subtilités.
Propriété :
Opération "ou"
Table de vérité pour deux propositions P ou Q
Comme on a deux propositions qui ont chacune deux possibilités, on aura donc quatre possibilités en tout. D’où le tableau suivant.
La proposition P ou Q n’est fausse que si les deux propositions P et Q sont fausses
Si P=”je mange une pêche ” =”pêche” et Q =”je mange une glace “=”glace”
les quatre possibilités sont les suivantes :
je mange une pêche, je mange une glace donc “pêche ou glace”
Je mange une pêche, je ne mange pas de glace donc “pêche ou pas de glace”
je ne mange pas de pêche, je mange une glace donc “pas de pêche ou glace”
je ne mange pas de pêche, je ne mange pas de glace donc pas de pêche ou pas de glace”
Deux proposition peuvent être reliées par la conjonction “ou” : P ou Q.
Si au moins l’une d’entre elle et vraie, alors P ou Q es vraie.
Nous avons ainsi quatre possibilités :
P est vraie, Q est vraie P ou Q est vraie
P est vraie, Q est fausse P ou Q est vraie
P est fausse, Q est vraie P ou Q est vraie
P est fausse, Q est fausse P ou Q est fausse
Pour que P ou Q soit vraie, il faut que P soit vraie, ou Q soit vraie ou les deux soient vraies
Le ou en mathématiques est inclusif : l’un ou l’autre ou les deux.
Dans le langage commun le ou est exclusif en général mais peut être inclusif. Noter aussi qu’il peut être équivalent, signifier la même chose.
Au menu d’un restaurant noté fromage ou dessert, vous prendrez soit le fromage, soit le dessert mais pas les deux à moins de payer un supplément.
P=”fromage Q=”dessert”
Au restaurant, j’ai le choix entre le fromage ou le dessert.
Mais en mathématiques, j’ai le choix entre le fromage, le dessert ou les deux.
Commutativité
si on me propose “fromage ou dessert” c’est la même chose que si on me propose “dessert ou fromage”.
P= “fruit” Q=”glace” R=”tarte”
Associativité :
Je peux très bien choisir d’abord entre le fruit et la glace puis choisir entre ce premier choix et la tarte.
Ou bien je peux choisir entre la glace te la tarte et ensuite choisir entre ce choix et le fruit.
Propriétés:
Opération "et"
Table de vérité pour deux propositions P et Q.
Chaque proposition a deux possibilités, donc on aura quatre possibilités en tout.
La proposition P et Q est vraie que si les deux propositions sont vraies
Si P=”je mange une pêche” et Q=”je mange une glace, les quatre possibilités seront les suivantes :
Je mange une pêche, je mange une glace donc je mange une pêche et une glace.
Je mange une pêche, je ne mange pas une glace donc je mange une pêche et pas de glace.
Je ne mange pas de pêche, je mange une glace donc je ne mange pas de pêche et je mange une glace.
Je ne mange pas de pêche, je ne mange pas de glace donc je ne mange pas de pêche et je ne mange pas de glace.
Deux propositions P et Q peuvent être reliées par la conjonction “et”.
Nous avons quatre possibilités :
P est vraie, Q est vraie, P et Q est vraie
P est vraie, Q est fausse, P et Q est fausse
P est fausse, Q est vraie P et Q est fausse
P est fausse, Q est fausse, P et Q est fausse
Pour que P et Q soit vraie il faut que les deux propositions P et Q soient vraies
P=”fromage” Q=”dessert”
J’ai choisi de manger les deux fromage et dessert.
Je peux commencer par manger le fromage puis le dessert.
Mais je peux aussi commencer par manger le dessert puis le fromage. Ce sera la même chose pour l’estomac.
P= Fruit Q= glace R=tarte
On peut très bien m’apporter dans une assiette le fruit et la glace et dans une autre la tarte.
Mais on peut me mettre le fruit seul dans une assiette et dans une autre la glace et la tarte.
Propriétés :
Autres propriétés
P=fruit Q=glace R= tarte
Négation du ou
Je ne veux pas (de fruit ou de la glace) signifie aussi je ne veux pas de fruit et je ne veux pas de glace.
Négation du et
Je ne veux pas (de fruit et de la glace) signifie je ne veux pas de fruit ou je ne veux pas de glace.
Distributivité du ou
le fruit ou (de la glace et de la tarte)
On me présente deux assiettes contenant un fruit et une glace dans la première et un fruit et une tarte dans la seconde. Je dois choisir le fruit ou la glace dans la première et le fruit ou la tarte dans la seconde. Une fois le choix fait, je garde les deux assiettes.
Distributivité du et
Le fruit et (la glace ou la tarte)
cette fois j’ai le choix entre deux assiettes l’une contenant le fruit et la glace et l’autre contenant un fruit et la tarte.
Les négations 
Les distributivités 
P=”j’aime le chocolat”
nonP=”je n’aime pas le chocolat”
non(nonP)=le contraire de “je n’aime pas le chocolat = j’aime le chocolat.
J’aime le chocolat et j’aime le chocolat = j’aime le chocolat
J’aime le chocolat ou j’aime le chocolat = j’aime le chocolat.
Loi de Morgan
P=”j’aime les moules”
Q=”J’aime les frites”
Le contraire de “j’aime les moules ET les frites” est je n’aime pas les moules OU je n’aime pas les frites.
Le contraire de “j’aime les moules OU les frites” est je n’aime pas les moules ET je n’aime pas les frites.
Les deux tables de vérités :
C’est la négation du ET et du OU vue plus haut. 
Le contraire de ET est OU.
Le contraire de OU est ET
Les implications
Table de vérité de l’implication :
P= Il pleut Q= ,” je prends mon parapluie
Il pleut alors je prends mon parapluie
Il pleut alors je ne prends pas mon parapluie est faux
Il ne pleut pas alors je prends mon parapluie; Pourquoi pas .
Il ne pleut pas alors je ne prends pas mon parapluie.
Nous savons tous depuis la cinquième qu’un carré est aussi un rectangle. Un rectangle particulier mais un rectangle quand même. Le carré possède toutes les propriétés du rectangle.
Soit les deux propositions :
Propriétés de l'implication
Voir la section précédente.
P=”Des animaux ont des ailes” Q=”ils peuvent voler”
L’assertion : “des animaux ont des ailes” alors “ils peuvent voler”
et l’assertion des animaux n’ont pas d’ailes ou ils peuvent voler
qui peut se traduire par soit les animaux n’ont pas d’ailes, soit ils peuvent voler, sont équivalentes, elles signifient la même chose.
P=”je suis français”
Q=”je suis européen”
R=”je suis terrien”
“Je suis français implique” que “je suis européen” ET “je suis européen” implique que “je suis terrien” est équivalent à je suis français implique que je suis terrien.
Transitivité de l’implication :
P=”ABCD est un parallélogramme”
Q=”les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu”
“ABCD est un parallélogramme” est équivalent à “les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu” alors
“ABCD est un parallélogramme” implique que “les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu”.
Les diagonales de ABCD se coupent en leur milieu implique que ABCD est un parallélogramme.
Equivalence :
P=”un animal a des ailes”
Q=”il peut voler”
Un animal a des ails alors il peut voler.
La négation de cette implication est équivalente à
” un animal a des ailes” ET “il ne peut pas voler”.
Négation d’une implication :
P=”ABC est un triangle rectangle en A”
Q=”BC²=AB²+AC²
P implique Q :
“ABC est un triangle rectangle en A” alors “BC²=AB²+AC²”.
La réciproque Q implique P :
“BC²=AB²+AC² ” alors “ABC est un triangle rectangle en A”.
Réciproque d’une implication :
P=”ABC est un triangle rectangle en A”
Q=”BC²=AB²+AC²
P implique Q :
“ABC est un triangle rectangle en A” alors “BC²=AB²+AC²”.
La réciproque Q implique P :
“BC²=AB²+AC² ” alors “ABC est un triangle rectangle en A”.
Négation de Q :
“BC²≠AB²+AC²”
Négation de P :
“ABC n’est pas un triangle rectangle en A”
Contraposée :
“BC²≠AB²+AC²” implique que “le triangle ABC n’est pas rectangle en A”.
Contraposée d’une implication : 