Développements limités
Utilité d'un développement limité
Découvrir un développement limité d'ordre 1
En fin de chapitre sur le nombre dérivé nous avons abordé le fait qu’une fonction quelconque pouvait être écrite sous forme de polynôme au voisinage d’un point x0.
Cette écriture sous forme de polynôme est une approximation de la fonction considérée au voisinage du point x0.
Ainsi toujours au voisinage de x0, une fonction est égale à
– la valeur de la fonction en x0 plus
– le nombre dérivé de la fonction en x0 multiplié par (x-x0) plus
– une fonction ε(x)multipliée par (x-x0). Cette fonction qu’on peut nommer résidu est négligeable lorsque x tend vers x0.
Exemple ci contre :
Avec une fonction plus compliquée ce sera plus facile de calculer avec le développement limité.
f(x) est négligeable devant g(x)
Souvent on dira que f est négligeable devant g au voisinage de 0. Dans ce cas a=0. si aucune précision dans la valeur de a n’est donnée, on considère que a=0
propriété importante
Cette propriété n’est valable qu’au voisinage de 0
Si p est plus grand que n x à la puissance p est négligeable devant x à la puissance n
De la propriété précédente, nous en déduisons: 
tout cela, bien sûr, au voisinage de 0
Formule de Taylor Young
Il existe plusieurs formules de Taylor qui ne diffèrent que par l’expression de leur reste.
C-dessous, la formule de Taylor Young pour un développement limité (DL) d’ordre n au voisinage de a.
Appliquons cette notion à une fonction exponentielle au voisinage de 0.
La fonction exponentielle est dérivable à l’infinie puisque sa dérivée est elle-même de plus elle est continue sur ensemble des réels donc au point 0. Elle est de classe C∞. On peut donc prendre n’importe quelle valeur de n.
Développements limités usuels
Il est nécessaire de les connaîtres par coeur, mais on peut les retrouver avec la formule de Taylor Young.
