Diviseurs
Vocabulaire
Définition d'un diviseur
Avec un exemple pour comprendre plus facilement 
La définition ci-contre se fait à partir de la multiplication car on n’est pas censé connaître encore la division.
Autre manière de le dire
En prenant l’exemple ci-dessus :
3 divise 24
3 est diviseur de 24
car si on divise 24 par 3 on obtient un nombre entier non nul, 8
On peut dire aussi que
24 est un multiple de 3 ou que 24 est divisible par 3.
Attention de ne pas mélanger toutes ces expressions qui signifient la même chose différemment.
le dire en langage mathématique.
C’est la première définition du diviseur.
en utilisant la division, il est plus évident que 3 divise 24 ou que 3 est diviseur de 24.
De même en utilisant une fraction.
Les critères de divisibilité.
Comment savoir si un nombre est divisible par un autre nombre sans faire la division même si avec la calculatrice il est très facile d’effectuer cette opération.
2458 se termine par 8 qui est un chiffre pair
2458 est divisible par 2. 2458:2=1229
2457 se termine par 7 qui n’ est pas un chiffre pair
2457 n’ est pas divisible par 2. 2457:2=1228,5
2451 2+4+5+1=12 2+1=3
la somme de ses chiffres est un multiple de 3
2451 est divisible par 3. 2451:3=817
2452 2+4+5+2=13 3+1=4
La somme de ses chiffres n’ est pas un multiple de 3
2452 n’ est pas divisible par 3 2452:3=817,3333
2496 96:4=24
le nombre formé par les deux derniers chiffres est un multiple de 4
4 2496 est divisible par 4 2496:4=624
2445 45:4=11,25
Le nombre formé par les deux derniers chiffres n’ est pas un multiple de 4
2445 n’ est pas divisible par 4 2445:4=611,25
2495 se termine par 5; il est divisible par 5 ; 2495:5=499
2490 se termine par 0 ;il est divisible par 5; 2490:5=498
2446 ne se termine pas par 0 ou 5 ; il n’ est pas divisible par 5; 2446:5=489,2
2484 se termine par un nombre pair, il est divisible par 2
2484 2+4+8+4=18 1+8=9
la somme de ses chiffres est un multiple de 3, il est divisible par 3
2484 est divisible par 2 et par 3 donc par 6,2484:6=414
2485 ne se termine pas par un nombre pair, il n’ est pas divisible par 2
2485 n’ est pas divisible par 6, 2485:6=414,16666
Pour la divisibilité par 7 c’est compliqué et il est préférable de vérifier avec la calculatrice la divisibilité du nombre par 7. A titre d’exemple cependant :
5488 548 dizaines 548+5×8=548+40=588
588 58 dizaines 58+5×8=58+40=98
98 9 dizaines 9+5×8=49
49 est multiple de 7 donc 5488 est divisible par 7
On ne donner pas de contre exemple .
13104 on divise par 2 le nombre formé par les 3 derniers chiffres
104:2=52 on divise encore par 2 le résultat
52:2=26 on divise encore par 2 le résultat
26:2=13
104 est donc divisible 3 fois par 2, 13104 est divisible par 8
On ne donnera pas de contre exemple.
2484 2+4+8+4=18 1+8=9
la somme de ses chiffres est un multiple de 9,il est divisible par 9
2484:9 = 276
2485 2+4+8+5=19 1+9=10
La somme de ses chiffres n’ est pas un multiple de 9,
il n’ est pas divisible par 9 2485:9=276,1111
2400 se termine par 0, il est divisible par 10 2400:10 = 240
2405 ne se termine pas par 0, il n’est pas divisible par 10 2405:10 = 240,5
Les diviseurs d'un nombre
Un nombre quelconque possède un nombre limité de diviseurs.
Le plus grand diviseur que peut posséder un nombre est lui même.
Autrement dit un nombre ne peut pas posséder un diviseur plus grand que lui, puisque le résultat de la division de ce nombre par un nombre plus grand que lui est obligatoirement un nombre décimal plus petit que zéro.
Le plus petit diviseur que peut posséder un nombre quelconque est 1 puisque les diviseurs appartiennent à l’ensemble des entiers naturels sachant que la division par 0 n’a pas de sens mathématique (on ne peut pas faire un partage entre 0 personnes)
Les nombres premiers
5:1=5
5:2=2,5 2 n’ est pas un diviseur de 5
5:3=1.666 3 n’ est pas un diviseur de 5
5:4=1,25 4 n’ est pas diviseur de 5
5:5=1
5 est un nombre premier
Il existe une infinité de nombres premiers.
Tout nombre n possède au moins deux diviseurs : 1 et lui même, n.
Il existe des nombres qui ne possèdent que deux diviseurs et seulement deux, ce sont les nombres premiers.
Les nombres premiers ne peuvent être divisés que par 1 et par eux même .
Si on divise un nombre par 1 on obtient le nombre comme résultat.
Si on divise un nombre par lui même, on obtient 1 comme résultat.
Liste des nombres premiers.
On colore en jaune tous les multiples de 2
On colore en orange les multiples de 3 qui restent
Les multiples de 4 on déjà été éliminés par les multiples de 2
On colore en vert les multiples de 5 qui restent
Les multiples de 6 ont été éliminés (multiples de 3 et de 2)
On colore en bleu les multiples de 7 qui restent.
Les multiples de 8 ont déjà été éliminés comme multiples de 2
Les multiples de 9 ont été éliminés comme multiples de 3
Enfin les multiples de 10 ont été éliminés comme multiples de 2
Bien que les mathématiciens s’y penche depuis la nuit des temps, il n’existe pour l’instant aucune formule, aucune méthode qui permette de trouver la liste des nombres premiers. La seule manière de savoir si un nombre est premier est de tester en le divisant tour à tour par tous les nombres en partant de 2
On peut aussi recopier tous les nombres dans un tableau et barrer successivement ceux qui sont divisibles par 2, puis barrer ceux qui sont divisibles par 3…. A la fin on obtient une liste de nombre premier. Cette méthode se nomme la crible d’Eratosthène.
Ci-contre, un exemple pour les nombres inférieurs à 25.
Comment reconnaître si un nombre est premier.
197 est-il un nombre premier ?
Il suffit de vérifier si le nombre en question, 197, est divisible par chacun des nombres premiers, 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,…
Le processus pourrait être long voire infini.
Mais on remarque qu’à partir d’une certaine valeur on retrouve les mêmes opérations ou des opérations dont les résultats sont très proches.
Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers
