Fonctions composées
Exemple concret
Je possède un chauffage à pompe à chaleur.
Ma consommation d’électricité journalière , donc ma dépense en euro de chaque jour dépend de la température extérieure. Elle est de cet ordre :
\(P=0,6 t\) t étant l’écart entre les températures extérieures et intérieures (23°)
Mais la température extérieure dépend du jour de l’année où on se trouve.
Ainsi, on peut établir le schéma suivant :
Nous avons deux fonctions,
La première nous donne la température extérieure en fonction du jour de l’année.
La seconde nous donne notre dépense énergétique en fonction de la température extérieure.
Il nous serait possible de connaître directement notre consommation énergétique en fonction du jour de l’année.
On vient de définir une fonction composée :
La dépense énergétique donnée en fonction du jour de l’année peut être décomposée en deux fonctions :
l’une donnant la température extérieure en fonction du jour de l’année, l’autre donnant la dépense en fonction de la température extérieures.
Ci dessous, les deux fonctions pour des journées du mois de mai 2025 et janvier 2026:
au dessus la température extérieure selon le jour de l’année,
au dessous la dépense journalière en énergie.
Premier exemple
La fonction \(h(x)\) est le résultat de la composition de deux autres fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\). On commence à appliquer la fonction \(f(x)\), puis on applique au résultat la fonction \(g(x)\).
Soit la fonction h
Elle consiste à prendre le carré d’un nombre quelconque \(x\) auquel on a rajouté 2.
Pour trouver la valeur du nombre \(h(x)\) en partant de \(x\) on procède en deux étapes.
Coche « Afficher l’étape 1 ».
au nombre \(x\) quelconque on rajoute 2
Fait glisser le point marron situé sur l’axe des x vers la droite jusqu’à 10.
Ce point désigne la valeur de \(x\)
On voit s’afficher progressivement en ordonnées la valeur de \(x+2\)
Ramène le point marron vers -10 et coche la case » Afficher l’étape 2″.
Puis fait glisser le point marron à nouveau vers +10.
On voit s’afficher progressivement en ordonnées les valeurs du carré du nombre \(x+2\).
Ainsi on a utilisé deux fonctions.
Avec la première qu’on appellera \(f(x)\), on ajoute le nombre 2 à un nombre \(x\) quelconque. On obtient un résultat que nous appellerons \(X\).
Avec la seconde qu’on, appellera \(g\), on élève au carré le résultat \(X\) de la première.
On a ainsi composé deux fonctions \(f\) et \(g\) pour obtenir la fonction \(h\) .
En composant entre elles les fonctions \(f\) et \(g\), on obtient la fonction\(h\).
Par la fonction \(g\), on prend le carré d’un nombre calculé avec la fonction \(f\) .
On commence par appliquer la fonction \(f\) pour ensuite appliquer la fonction \(g\) au résultat de \(f\)
Deuxième exemple
La fonction \(h(x)= ln(x^2+1)\) peut être décomposées en deux fonctions.
La première \(f(x)\) :
A tout nombre x de l’ensemble des nombres réels on fait correspondre son carré auquel on ajoute 1 :\( x²+1\).
\(f(x)=x²+1\)
Si on nomme \(X\) ce résultat \(X=x²+1\).
la seconde fonction \(g(X)\) consiste à prendre le logarithme du résultat \(X\) de la première fonction \(f(x)\).
\(g(X)=ln(X)=ln(x²+1)\)
Définition
cette expression se lit \( h \) égale \(f\) rond \(g\),
\(f\) suivi de \(g\) ou \(g\) après \(f\).
Trouver les fonctions d'une composition de fonctions
Soit la fonction \(h(x)=\frac{1}{x^2+1}\), c’est une fonction composée. En effet en partant de \(x\) on le transforme en \(x^2+1\) grâce à une fonction \(f(x)=x^2+1\). Puis grâce à une autre fonction \(g(x)\), la fonction inverse \(g(x)=\frac{1}{x}\), on transforme \(x^2+1\) en son inverse pour obtenir \(h(x)=\frac{1}{x^2+1}\)
Soit la fonction \(h(x)=e^{x^2-3x+4}\). C’est une fonction composée. Pour un nombre quelconque \(x\) on commence par le transformer en \(x^2-3x+4\) grâce à la fonction \(f(x)=x^2-3x+4\) puis on transforme le nombre obtenu en prenant son exponentielle grâce à la fonction \(g(x)=e^x\).
Composer deux fonctions
Soient les fonctions :
\((f(x)\) et \(g(x)\) :
\(f(x)=x^2+x+3\) et \(g(x)=\frac{3x}{x+1}\)
Calculons \(g∘f\)
on sait que \(g∘f=g(f(x)\)
la variable de \(f\) est \(x\), variable indépendante, mais la variable de \(g\) est \(f(x)=x^2+x+3\) écrite en rouge. c’est une variable dépendante puisqu’elle dépend dela fonction \(f\).
Dans \(g\), il suffit de remplacer \(x\) par cette nouvelle variable.
Calculons \(f∘g\)
on sait que \(f∘g=f(g(x))\)
la variable de \(g\) est \(x\), mais la variable de \(f\) est \(g(x)=\frac{3x}{x+1}\) écrite en rouge.
Dans \(f\), il suffit de remplacer \(x\) par cette nouvelle variable.
Propriétés des compositions de fonctions.
En prenant les deux fonctions du paragraphe précédent :
\(f(x)=x^2+x+3\) et \(g(x)=\frac{3x}{x+1}\)
\(g\circ f\neq f\circ g\)
\(f\circ g=f(g(x))=\left ( \frac{3x}{x+1} \right )^{2}+\frac{3x}{x+1}+3\)
\(g\circ f=g(f(x))=\frac{3(x^2+x+3)}{x^2+x+4}\)
Soient les fonctions :
\(f(x)=2x\) \(g(x)=x^2 \) \(h(x)=ln(x)\)
Calculons
\( h\circ (g\circ f)=h\circ (g(f(x)))=\)
\(h\circ (g(2x))=h\circ ((2x)^2)=ln((2x)^2)=ln(4x^2)\)
Calculons ensuite \( (h\circ g)\circ f=h(g(x))\circ f=h(x^2)\circ f=\)
\(ln(x^2)\circ f=ln((2x)^2)=ln(4x^2)\)
Prenons les mêmes fonctions que précédemment :
\(f(x)=2x\) \(g(x)=x^2 \) \(h(x)=ln(x)\)
soit comme opération l’addition des fonctions par exemple :
Calculons
\(h\circ (g+f)=h\circ (x^2+2x)=ln(x^2+2x)\)
Calculons
\((h\circ g)+(h\circ f)=h\left [ g(x) \right ]+h\left [ f(x) \right ]=\)
\(ln(x^2)+ln(2x)\)
Il est évident que
\(ln(x^2+2x)\neq ln(x^2)+ln(2x)\)
soient les fonctions
\(f(x)=\frac{1}{x}\) et \(g(x)=x^2 \)
La fonction \(f\) est continue pour tout \(x\) différent de 0
La fonction \(g\) est continue pour tout \(x\)
La fonction composée \(g\circ f=g\left [ f(x) \right ]=g(\frac{1}{x})=\left ( \frac{1}{x} \right )^2\) est continue pour tout \(x\) différent de 0.
Dérivée d'une fonction composée
C’est relativement compliqué à expliquer mais relativement simple à pratiquer lorsqu’on a compris le principe.
Ci-dessous les différentes définitions de la dérivée d’une fonction composée. Nous considérerons une fonction composée non dénommée de deux fonctions \(f(x)\) et \(g(x)\).
Soit la fonction \(h(x)=(4x^2+5x-2)^5\).
C’est une fonction composée de deux fonctions :
\(f(x)=4x^2+5x-2\) et \(g(x)=x^5\) qu’on peut aussi écrire pour la seconde \(g(X)=X^5\) avec \(X=4x^2+5x-2\).
Cette fonction composée peut être schématisée de la façon suivante :
Nous avons noté en rouge les deux expressions à dériver.
La dérivée de cette fonction composée est égale aux produit des deux dérivées en rouge.
\(h'(x)= g'(X)\times f'(x)=5X^4\times (8x+5)\)
En remplaçant \(X\) par sa valeur, on obtient l’expression de la dérivée de notre fonction composée :
\(h'(x)= g'(X)\times f'(x)=5(4x^2+5x-2)^4\times (8x+5)\)
Soit la fonction \( f(x)=e^{\frac{1}{x}}\).
C’est une fonction composée des deux fonctions : \(u(x)=\frac{1}{x}\) et \(v(x)=e^{x}\) ou \(v(X)=e^{X}\) avec \(X=\frac{1}{x}\).
On peut schématiser cette fonction de la façon suivante :
Comme précédemment les expressions à dériver sont écrites en rouge.
La dérivée de \(f(x)\) est égale au produit des deux dérivées écrites en rouge :
\(f'(x)=u'(x)\times v'(X)\), soir
\(f'(x)=\left ( \frac{1}{x} \right )’\times \left ( e^{X} \right )’ \)
Donc : \(f'(x)=\left ( -\frac{1}{x^2} \right )\times e^{X}\) puisque la dérivée d’une fonction exponentielle est la fonction exponentielle elle-même.
En remplaçant \(X\) par sa valeur, nous obtenons la dérivée de notre fonction.
\( f'(x)=\left ( -\frac{1}{x^2} \right )\times e^{\frac{1}{x}}\)