Exercices et problèmes

\[
\left\{
\begin{matrix}
(m^2-3m+3)x+2(m-2)y=4(m-1)^2 \\
m^2x+2(2m-3)y=2(3m^2-2m+3)
\end{matrix}
\right.
\]

Il s’agit d’un système de deux équations à deux inconnues x et y avec un paramètre m qui peut prendre toute valeur appartenant à l’ensemble des nombres réels.
Pour résoudre un tel système nous avons plusieurs solutions. La plus adéquate dans ce cas là est la méthode des déterminants de Cramer.
Soit Δ le déterminant permettant de déterminer l’existence ou non de racines de ce système.

\(\Delta =\begin{vmatrix}
m^2-3m+3 & 2(m-2) \\
m^2& 2(2m-3) \\
\end{vmatrix}\)

\(m^2-3m+3)\) étant le coefficiant de \(x\) de la première équation.
\(2(m-2)\) étant le coefficiant de \(y\) de la première équation.
\(m^2\) est le coefficiant de \(x\) de la seconde équation.
\(2(2m-3)\) est le coefficiant de \(y\) de la seconde équation.
pour calculer ce déterminant, il suffit d’appliquer la méthode de calcul apprise à savoir :

ce qui donne :

\(\Delta =(m^2-3m+3)\times 2(2m-3)-m^2\times 2(m-2)\)

On peut mettre 2 en facteur :

\(\Delta =2\left [ (m^2-3m+3)(2m-3)-m^2(m-2) \right ]\)

on distribue le facteur \((2m-3)\) dans \((m^2-3m+3)\)

\(\Delta =2\left [m^2(2m-3)-3m(2m-3)+3(2m-3)-m^2(m-2)\right ]\)

On regroupe les termes en \(m^2\)

\(\Delta =2\left [ m^2(2m-3)-m^2(m-2)-3m(2m-3)+3(2m-3) \right ]\)

On factorise par \(m^2\) et par \((2m-3)\)

\(\Delta =2\left [ m^2(2m-3-m+2)+(2m-3)(-3m+3) \right ]\)

dans \((-3m+3)\) on peut mettre -3 en facteur que l’on place devant \((2m-3)\)

\(\Delta =2\left [ m^2(2m-3-m+2)-3(2m-3)(m-1) \right ]\)
\(\Delta =2\left [ m^2(m-1)-3(2m-3)(m-1) \right ]\)

On factorise par \((m-1)\)

\( \Delta =2\left [(m-1)(m^2-6m+9) \right ]\)

\((m^2-6m+9)\) est une identité remarquable et est égale à \((m-3)^2\)

\( \Delta =2\left [(m-1)m-3)^2 \right ]\)

Autre méthode pour ce calcul de déterminant :
Nous aurions pu développer les produits de facteurs.

\(\Delta =2\left [ m^2-3m+3)(2m-3)-m^2(m-2) \right ]\)
\(\Delta =2\left [ 2m^3-6m^2+6m-3m^2+6m-9-m^3+2m^2 \right ]\)
\(\Delta =2\left [ 2m^3-m^3-6m^2-3m^2+2m^2+9m+6m-9 \right ]\)
\(\Delta =2\left [ m^3-7m^2+15m-9 \right ]\)

On aboutit à une équation du troisième degré que nous ne sommes pas censé pouvoir résoudre. Or pour factoriser cette équations il nous faut connaître ses racines. Le seul moyen c’est de chercher une racine évidente. Essayons avec \(m=1\).

\(\Delta =2\left [ 1-7+15-9 \right ]=0\)
Donc \(m=1\) est une solution de l’équation \(m^3-7m^2+15m-9)\)
On peut donc factoriser cette équation par l’expression \(m-1\)
On a deux possibilités pour effectuer cette factorisation :

1- par identification
\( m^3-7m^2+15m-9=(m-1)(am^2+bm+c)\)
\( m^3-7m^2+15m-9=am^3+bm^2-am^2+cm-bm-c\)
\(m^3-7m^2+15m-9=am^3+(b-a))m^2+(c-b)m-c\)

Dans le premier membre le coefficient de \(m^3\) est égal à 1
Dans le second membre le coefficient de \(m^3\) est égal à \(a\). Donc \(a=1\)
Dans le premier membre le coefficient de \(m^2\) est égal à -7.
Dans le second membre le coefficient de \(m^2\) est égal à \(b-a\).
Donc \(b-a=-7\) comme \(a=1\) : \(b-1=-7\) donc \(b=-6\)
On continue avec les coefficients de \(m\) : \(c-b=15\), \(c-6=15\), \(c=9\)
On vérifie avec le dernier terme de chaque membre que \(c=9\)
On trouve bien la même valeur pour
\(\Delta =2\left [ m^3-7m^2+15m-9 \right ]\)

Pour factoriser \(\Delta \)
on peut aussi diviser
\((m^3-7m^2+15m-9)\) par \((m-1)\)

Quoiqu’il en soit le déterminant \(\Delta\) du système est égal à

\( \Delta =2\left [(m-1)(m-3) \right ]\).

Pour que ce système ait une solution il est nécessaire que le déterminant ne soit pas égal à 0:

\(\Delta \neq 0\) \((m-1)(m-3)^2\neq 0\)
\(m\neq 1\) et \(m\neq 3\)
Pour \(m=1\) ou \(m=3\) le système n’a pas de solution unique.
Si \(m=1\)
\(\left\{\begin{matrix}
(1-3+3)x-2(1-2)y=4(1-1)^2 )\\1x+2(2-3)y=2(3-2+3)
\end{matrix}\right.\)

\(\left\{\begin{matrix}
x-2y=0\\x-2y=8
\end{matrix}\right.\)

le système n’a pas de solution du tout puisque \(x-2y\) doit être égal à la fois à 0 et à 8 ce qui est impossible.

Si \(m=3\)

\(\left\{\begin{matrix}
3x+2y=16\\9x+6y=48
\end{matrix}\right.\)
Le système a une infinité de solutions puisque les deux équations sont identiques à un multiplicateur (3) près. La seconde équation est égale à la première dont les deux membres sont multipliés par 3. Autrement dit on peut simplifier par 3 la seconde équation pour trouver la première. 

Si \(m\neq 1\) et \(m\neq 3\) le système a une solution unique.

Calcul de la solution
Nous continuons à utiliser la méthode des déterminants de Kramer :

Calcul du déterminant de \(x\)

\(\Delta x=\begin{vmatrix}
4(m-1)^2 & 2(m-2) \\
2(3m^2-2m+3) & 2(2m-3) \\
\end{vmatrix}\)

\(\Delta x=4(m-1)^2\times 2(2m-3)-2(3m^2-2m+3)\times 2(m-2) \)

On développe et on réduit tout bêtement :

\(\Delta x=8(2m^3-4m^2+2m-3m^2+6m-3)-4(3m^3-2m^2+3m-6m^2+4m-6)\)
\( \Delta x=8(2m^3-7m^2+8m-3)-4(3m^3-8m^2+7m-6) \)
\(\Delta x=16m^3-56m^2+64m-24-12m^3+32m^2-28m+24\)
\(\Delta x=4m^3-24m^2+36m\)
\(\Delta x=4m(m^2-6m+9)\)
\(\Delta x=4m(m-3)^2\)

La valeur de \(x\) est égale au déterminant de \(x\) divisé par le déterminant :

\(x=\frac{\Delta x}{\Delta }=\frac{4m(m-3)^2}{2(m-1)(m-3)^2}=\frac{2m}{m-1}\)

Calcul du déterminant de \(y\) :

\(\Delta y=\begin{vmatrix}
m^2-3m+3 & 4(m-1)^2 \\
m^2 & 2(3m^2-2m+3) \\
\end{vmatrix}\)

\(\Delta y=(m^2-3m+3)\times 2(3m^2-2m+3)-m^2\times 4(m-1)^2\)

on peut mettre 2 en facteur et développer l’identité remarquable \((m-1)^2\)

\(\Delta y=2[(m^2-3m+3)(3m^2-2m+3)-2m^2(m^2-2m+1)]\)
\(\Delta y=2[3m^4-2m^3+3m^2-9m^3+6m^2-9m+9m^2-6m+9-2m^4+4m^3-2m^2]\)
\(\Delta y=2[m^4-7m^3+16m^2-15m+9]\)

D’après l’énoncé du problème on peut légitimement penser que ce polynôme peut être factoriser par \(m-3\)
Si c’est le cas ce polynôme entre crochet s’annulerait pour \(m=3\)
Essayons. \(2(81-189+144-45+9) = 2(234-234)=0\)
Pour avoir le résultat de la factorisation du polynôme par \(m-3\) divisons le par \((m-3)\)

Nous pouvons donc écrire maintenant :
\(\Delta y=2[(m-3)(m^3-4m^2+4m-3)]\)
Encore d’après l’énoncé, il y a tout lieu de croire que \(m^3-4m^2+4m-3\) est divisible par \(m-3\). Ce qui signifie qu’il s’annulerait pour \(m=3\).
Vérifions pour \(m=3\) nous obtenons \(27-36+12-3=36-36=0\)
Notre polynôme en question est divisible par \((m-3)\), on peut donc le factoriser par \((m-3)\)
Plutôt que d’effectuer une division, nous allons cette fois procéder par identification.
\(m^3-4m^2+4m-3=(m-3)(am^2+bm+c)\)
\(m^3-4m^2+4m-3=am^3+(b-3a)m^2+(c-3b)m-3c\)
\(a=1\)
\(b-3a=-4\)          \(b-3=-4\)          \(b=-1\)
\(c-3b=4\)           \(c+3=4\)          \(c=1\)
\(-3c=-3\)            \(c=1\)
\(m^3-4m^2+4m-3=(m-3)(m^2-m+1)\)

Notre déterminant de \(y\) s’écrira donc :

\(\Delta y=2[(m-3)(m-3)(m^2-m+1)]\)
\( \Delta y=2(m-3)^2(m^2-m+1)\)

\(y=\frac{\Delta y}{\Delta }\)

\(y=\frac{2(m-3)^2(m^2-m+1)}{2(m-1)(m-3)^2}=\frac{m^2-m+1}{m-1}\)

Nous savons maintenant que chacune des deux équations du système représente une droite Ces deux droites ont en général un point commun M dont les coordonnées sont les solutions du système.

\(M\begin{pmatrix}
x=\frac{2m}{m-1} & y=\frac{m^2-m+1}{m-1} \\
\end{pmatrix}\)

Pour déterminer une relation indépendante de \(m\) entre les deux coordonnées \(x\) et \(y\) du point M il suffit de calculer \(m\) en fonction de \(x\) avec l’abscisse de M et de reporter cette valeur de \(m\) dans l’équation de l’ordonnée du point M.

\(x=\frac{2m}{m-1}\Rightarrow (m-1)x=2m\cdots m\neq 1\)
\(mx-x=2m\)
\(mx-2m=x\)
\(m(x-2)=x\)
\(m=\frac{x}{x-2}\)

On reporte cette valeur dans l’ordonnée du point M.

\(y=\frac{(\frac{x}{x-2})^2-\frac{x}{x-2}+1}{\frac{x}{x-2}-1}\)

\(y=\frac{\frac{x^2}{(x-2)^2}-\frac{x(x-2)}{(x-2)^2}+\frac{(x-2)^2}{(x-2)^2}}{\frac{x}{x-2}-\frac{x-2}{x-2}}\)

\(y=\frac{\frac{x^2-x(x-2)+(x-2)^2}{(x-2)^2}}{\frac{x-x+2}{x-2}}\)

\(y=\frac{\frac{x^2-x^2+2x+x^2-4x+4}{(x-2)^2}}{\frac{2}{x-2}}\)

\(y=\frac{x^2-2x+4}{(x-2)^2}\times \frac{(x-2)}{2}\)

\(y=\frac{x^2-2x+4}{2(x-2)}\)

Il existe donc une relation entre les coordonnées du point M.

Cette relation détermine une courbe ( une fonction) sur laquelle se déplace le point M.
Etudions cette fonction :

\(f(x)=\frac{x^2-2x+4}{2(x-2)}=\frac{x^2-2x+4}{2x-4}\)

Cette fonction est une fraction dont le dénominateur doit être différent de zéro : \(2(x-2)\neq 0\Rightarrow x\neq 2\)
Son domaine de définition sera donc :

:\(D_{f}=]-\infty ;2[\cup ]2;+\infty [\)

Les limites aux bornes de ce domaine de définition seront :
Lorsque x tend vers + ou – l’infini :

\(\displaystyle \lim_{x \to \pm \infty }f(x)=\lim_{x \to \pm \infty }\frac{x^2-2x+4}{2x-4}=\lim_{ x\to \pm \infty }\frac{x^2}{2x}=\lim_{ x\to \pm \infty }x=\pm \infty \)

Lorsque x tend vers 2 par valeurs inférieures à 2, \(x-2<0\)

\( \displaystyle \lim_{x \to 2^-}f(x)=\displaystyle \lim_{x \to 2^-}\frac{x^2-2x+4}{2(x-2)}\)
\(x^2-2x+4\rightarrow 4-4+4=4\)
\(x-2\rightarrow 2^- -2=0^- \) donc \((x-2)<0\)

\(\displaystyle \lim_{x \to 2^-}f(x)=-\infty \)

Lorsque x tend vers 2 par valeurs supérieures à 2, \(x-2>0\)
\(x-2\rightarrow 2^+ -2=0^+ \) donc \((x-2)>0\)
\(\displaystyle \lim_{x \to 2^+}f(x)=+\infty \)

Il existe donc une asymptote verticale d’équation \(x=2\)
Existe-t-il un asymptote oblique ?
Dans le cas particulier de notre fonction deux méthodes peuvent être appliquées.
Première méthode commune à toutes les fonctions : On remarque que lorsque x tend vers l’infini f(x) tend également vers l’infini. Il eut donc y avoir une asymptote oblique. C’est une condition nécessaire mais pas suffisante.
S’il existe une asymptote oblique elle sera de la forme y ou \(g(x)=ax+b\)
le coefficient directeur de cette asymptote a est tel que \(\frac{fx}{x}\) tend vers a lorsque x tend vers l(infini :

\(a=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{f(x)}{x}=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x^2-2x+4}{2x(x-2)}=a=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x^2}{2x^2}=\frac{1}{2}\)

La valeur de b est telle que : \(f(x)-ax\) tend vers b lorsque x tend vers l’infini.

\(\displaystyle \lim_{x \to \infty }f(x)-ax=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x^2-2x+4}{2(x-2)}-\frac{1}{2}x=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x^2-2x+4}{2(x-2)}-\frac{x(x-2)}{2(x-2)}=\)
\(\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{x^2-2x+4-x^2+2x+4}{2(x-2)}=\displaystyle \lim_{x \to \infty }\frac{4}{2(x-2)}=0\)

Il existe donc une asymptote oblique d’équation

\(y=\frac{1}{2}x=\frac{x}{2}\)

Dans ce cas particulier où la fonction étudiée est un quotient de deux polynôme, on aurait pu effectuer la division des deux polynômes.

Ainsi notre fonction peut s’écrire aussi

\(f(x)=\frac{x^2-2x+4}{2x-4}=\frac{1}{2}x+\frac{4}{2x-4}\)

Comme \(\frac{4}{2x-4}\) tend d’une façon évidente vers 0 lorsque x tend vers l’infini, nous en déduisons que \(y=g(x)=\frac{1}{2}x\) est une asymptote à la courbe de la fonction \(f(x)\)

Aux points où les tangentes à la courbe sont horizontales la dérivée de notre fonction est nulle. Calculons cette dérivée :

\(f(x)=\frac{x^2-2x+4}{2x-4}\)

\(f'(x)=\frac{u’v-v’u »}{v^2}=\frac{(x^2-2x+4)'(2x-4)-(2x-4)'(x^2-2x+4)}{(2x-4)^2}\)

\(f’x)=\frac{(2x-2)(2x-4)-2(x^2-2x+4)}{(2x-4)^2}\)

\(f’x)=\frac{4x^2-8x-4x+8-2x^2+4x-8}{(2x-4)^2}=\frac{4x^2-2x^2-8x-4x+4x+8-8}{(2x-4)^2}\)

\(f’x)=\frac{2x^2-8x}{(2x-4)^2}=\frac{2x(x-4)}{(2x-4)^2}\)

Pour qu’une fraction soit égale à 0 il faut et il suffit que son numérateur soit égal à 0 et que son dénominateur soit différent de 0.

\(f'(x)=0\ \Rightarrow \ \frac{2x(x-4)}{(2x-4)^2}\

\Rightarrow \ 2x(x-4)=0\ et\ (2x-4)^2\neq 0 \)

\(2x(x-4)=0\ \Rightarrow \ x=0\ ou\ x=4\)

Il existe donc 2 tangentes horizontales à cette courbe aux points d’abscisse \(x=0\) et \(x=4\)
Pour construire la courbe, nous avons besoin du tableau de variation construit à partir de la dérivée et d’un tableau de différentes valeurs qui permettront de positionner quelques points de la courbe sur un graphique et de les relier. C’est ainsi qu’on procédait en 1962, sans calculatrice et sans logiciel graphique..
Voir dans la dernière section, grâce à geogebra le graphe de la courbe ainsi que toutes les modalités du problème.
Tableau de variation :

Dans la ligne des \(x\) on note les valeurs du domaine de définition (2 et ∞ ) ainsi que les valeurs pour lesquelles la dérivée s’annule (0 et 4)
Dans la ligne des \(f'(x)\) on note le signe de la dérivée qui est déterminé par la règle du signe du trinôme du second degré.
Dans la ligne \(f(x)\) on note les différents sens de variation de la fonction selon le signe de la dérivée. On note aussi les valeurs ou limites de \(f(x)\) correspondant aux différentes valeurs ou limites de \(x\).

Tableau de valeurs :

Pour visualiser la fonction ainsi que toutes les modalités du problèmes, il faut cliquer sur la dernière section de ce déroulement.

La droite \((D)\) a pour équation cartésienne ;

\((m^2-3m+3)x+2(m-2)y=4(m-1)^2\)

Il s’agit de trouver un point de coordonnées \((x;y)\)indépendantes de \(m\), des coordonnées exprimées uniquement par des chiffres.
Développons cette équation.

\(m^2x-3mx+3x+2my-2y=4(m^2-2m+1)\)

\(m^2x-3mx+3x+2my-2y=4m^2-8m+4)\)

Faisons tout passer dans le premier membre, le second membre sera égal à 0 :

\(m^2x-3mx+3x+2my-4-4m^2+8m-4=0\)

Ordonnons suivant les puissances décroissantes de \(m\).

\(m^2x-4m^2-3mx+2my+8m+3x-4y-4=0\)

Factorisons :

\(m^2(x-4)-m(3x-2y-8)+3x-4y-4=0\)

Pour que le premier membre de cette équation soit nul, il faut et il suffit que tous les termes soient nuls

/(m^2(x-4)=0\) et \(-m(3x-2y-8)=0\) et \(3x-4y-4=0\)

Pour qu’un produit de facteurs soit nul il faut et il suffit qu’un des facteurs soit nul. En supposant que m est différent de 0, n peut écrire :

\((x-4)\) et \((3x-2y-8)\) et 3x-4y-4 sont tous indépendants de \(m\).

Dans la première équation \(x-4=0\) nous obtenons la valeur \(x=4\).
Avec la deuxième équation, en remplaçant \(x\) par sa valeur 4 on obtient \(12-2y-8=0\) soit \(y=2\).

On vérifie avec la troisième équation
\(3x-4y-4=12-8-4=0\)

Ainsi la droite \(D\) passe par un point fixe \(A(4;2)\)

Nous allons procéder de la même façon avec la seconde droite \(D’\).

\(m^2x+2(2m-3)y=2(3m^2-2m+3)\)

\(m2x+4my-6y-6m^2+4m-6=0\)

\(m^2x-6m^2+4my+4m-6y-6=0\)

\(m^2(x-6)+4m(y+1)-6y-6=0\)

\(x-6=0\)  et \(y+1=0\) et \(-6y-6=0\)
\(x=6\)    \(y=-1\)    La vérification est juste avec la troisième équation. 

La droite |((D’)\) passe par un point fixe \(B(6;-1)\)

Nous connaissons maintenant deux points \(A\) et \(B\) de la droite \((AB)\)

\(A\begin{pmatrix}
4\\2
\end{pmatrix} \)

\(B\begin{pmatrix}
6\\-1
\end{pmatrix}\)

La droite \((AB)\) passe évidemment par les points \(A\) et \(B\). Soit un point \(M\) de coordonnées \(M(x;y)\).
Calculons les coordonnées des vecteurs \(\overrightarrow{AB} \ et\ \overrightarrow{AM}\)

\(\overrightarrow{AB}=\begin{vmatrix}
6-4 \\-1-2
\end{vmatrix} \)

\(AM\begin{vmatrix}
x-4 \\y-2
\end{vmatrix}\)

Les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\ et\ \overrightarrow{AM}\) sont tous les deux sur la droite \((AB)\) Ils sont colinéaires et le déterminant de ces deux vecteurs est nul.

\(Det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM})=0\)

\(Det(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AM})=0\ \ \ \begin{vmatrix}
2 &(x-3) \\-3
& (y-2) \\
\end{vmatrix}=0\)

\(2(y-2)-[-3(x-4)]=0\)
\( 2(y-2)+3(x-4)=0\)
\(2y-4+3x-12=0\)
\(3x+2y-16=0\)
Telle est l’équation cartésienne de la droite \((AB)\)
Sont équation réduite sera 

\(y=\frac{-3x}{2}+8\)

On peut l’écrire \(g(x)=\frac{-3x}{2}+8\)

Les points d’intersection d’une droite et d’une courbe ou de deux courbes sont telles que leurs coordonnées calculées sur la courbe et leurs coordonnées calculées sur la droite seront égales. Nous pouvons donc écrire \(f(x)=g(x)\)

\(f(x)=g(x)\ \frac{x^2-2x+4}{2(x-2}=\frac{-3x}{2}+8\)

\(\frac{x^2-2x+4}{2(x-2)}=\frac{-3x+16}{2}\)
On réduit les deux membres au même dénominateur \(2(x-2)\)

\(\frac{x^2-2x+4}{2(x-2)}=\frac{(-3x+16)(x-2)}{2(x-2}\)

n multiplie les deux membres par \(2(x-2)\) à cndition que \(x\) soit différent de 2.
\(x^1-2x+4=-3x^2+6x+16x-32\)
\(x^2+3x^2-2x-6x-16x+4+32=0\)
\(4x^2-24x+36=0\)
\(4(x^2-6x+9)=0\)
\(4(x-3)^2=0

On a une solution unique donc un seul point d’intersection Donc la droite est tangente à la courbe au point d’abscisse :
\(x=3\)
en remplaçant \(x\) par sa valeur dans l’équation de la droite on détermine l’ordonnée de ce point.
\(y=\frac{-3x}{2}+\frac{16}{2}\ \Rightarrow \ y=\frac{-9}{2}+\frac{16}{2}\ \Rightarrow \ y=\frac{7}{2}\)
\(y=3,5\).
La droite \((AB)|) est tangente à la courbe au point |(M'(3;3,5)\)

Le curseur m donne la valeur du paramètre \(m\) des deux équations du système. en faisant glisser le point m sur le curseur, on change la valeur du paramètre. On peut faire glisser le point m à toutes les étapes décrites ci-dessous.
case 1 affiche ou cache les droites D et D’. Les droites affichées le sont suivant la valeur de m du curseur.
case 2 affiche la trace du point d’intersection P des deux droites D et D’. On peut effacer cette trace en cliquant sur le bouton
case 3 affiche ou non la courbe décrite par le point P intersection des deux droites se déplaçant selon les valeurs de m
Case 4 affiche ou non les asymptotes de la courbe décrite par le point P
case 5 Affiche ou non les tangentes horizontales et les points de tangence.
case 6 Affiche ou non les deux points A et B autour desquels se déplacent respectivement les droites D et D’
case 7 Affiche  ou non la droite AB et son point de tangence à la courbe.

Dans l’énoncé le point d’intersection des deux droites D et D’ est nommé M. Dans la résolution sur e graphique je l’ai appelé P.
Lorsque \(m=0\)
 \(x=\frac{2m}{m-1}=\frac{12}{5}=2,4\)

\(y=\frac{m^2-m+1}{m-1}=\frac{31}{5}=6,2\)

ce qui correspond bien aux coordonnées du point P

Lorsque \(m=0\)
\(x=0 \)
\(y=-1\)
ce qui correspond bien aux coordonnées du point P 

Lorsque \(m=1\) les deux droites sont parallèles. Il n’a donc bien aucune solution. 
Lorsque \(m=3\) les deux droites sont confondues. Il y a bien une infinité de points d’intersection des deux droites et donc une infinité de solutions.