Espace vectoriel
Définition
Soit K un corps commutatif qui peut désigner l’ensemble des nombres réels 
, l’ensemble des nombres complexes 
ou un corps commutatif quelconque.
On appelle espace vectoriel sur K (ou K – espace vectoriel ou encore K-ev) un ensemble E muni de deux lois de composition :
– une loi de composition interne sur E, l’addition, notée + telle que (E,+) soit un groupe commutatif, c’est-à-dire :
cette loi est associative 
elle admet un élément neutre 
tout élément de E admet un symétrique 
de plus elle est commutative 
une loi de composition externe appelée multiplication des vecteurs de E par un scalaire λ de l’ensemble K telle qu’elle
soit distributive sur les éléments de E 
soit distributive sur les éléments de K 
ait l’élément neutre de la multiplication dans K 
Pour avoir un espace vectoriel il nous faut, au départ, deux ensembles.
Un ensemble K qui devra être un corps commutatif. Cela veut dire que cet ensemble K devra être muni de deux lois de compositions internes.
L’une qu’on pourra appeler * (étoile) qui peut éventuellement être l’addition.
Cette première loi devra
être associative, posséder un élément neutre et sera telle que chacun des éléments de l’ensemble aura un symétrique. De plus cette loi sera aussi commutative.
La seconde loi qu’on pourra appeler Τ (tau) et qui pourrait être éventuellement la multiplication devra posséder les mêmes propriétés que la précédente.
L’autre ensemble que l’on nommera E sera constitué d’une infinité d’éléments appelés vecteurs ( pas forcément des vecteurs géométriques mais des fonctions, des matrices…)
Cet ensemble sera muni de deux lois de compositions aussi.
L’une interne ( un élément de E composé avec un autre élément de E qui donnera un élément de E) et l’autre externe (un élément de E composé avec un élément de K donnera un élément de E)
La première loi devra être être associative, posséder un élément neutre et chaque élément de l’ensemble E aura un symétrique. De plus cette loi sera commutative.
La seconde loi sera Distributive sur les éléments de E, distributive sur les éléments de K et aura un élément neutre, celui de la seconde opération de l’ensemble K.
Exemples
Ensemble des vecteurs du plan sur R
le plan possède une infinité de vecteurs. Nous en représentons quelques uns ci-contre. En général, ils sont nommés :
– par deux lettres surmontés d’une flèche. La première lettre désigne l’origine du vecteur et la seconde son extrémité.
– par une lettre minuscule ou majuscule indicée ou non et surmontée d’une flèche. 
Addition des vecteurs
Faire glisser le curseur a de un en un .
.L’élément neutre de l’ensemble des vecteurs est le vecteur nul représenté par le point nommé E sur l’application ci contre et représenté mathématiquement par un zéro surmonté d’une flèche 
.
Un vecteur nul peut-être représenté géométriquement par un point. Rappelons qu’un point n’a pas de surface.
Si on ajoute au vecteur nul un vecteur 
, on obtient le vecteur . De même si on ajoute au vecteur le vecteur nul on obtient également le vecteur .
Le symétrique d’un vecteur est le vecteur de même direction, de même longueur mais de sens contraire.
Si on ajoute au vecteur (en bleu) le vecteur
(en rouge) on obtient le vecteur nul ( rien sur l’application).
De même si on ajoute au vecteur (en rouge) le vecteur (en bleu).
Que l’on trace d’abord le vecteur puis le vecteur 
pour en faire la somme, ou que l’on trace d’abord le vecteur puis le vecteur , on obtient le même résultat.
En multipliant un vecteur par un nombre a appartenant à l’ensemble des nombres réels on obtient un vecteur de même direction dont la norme ( la longueur ) est multipliée par le nombre a.
Le vecteur est a fois plus grand que le vecteur d’origine.
Le sens du vecteur dépend du digne du nombre a. Si a est positif le vecteur 
aura le même sens que le vecteur 
. Si a est négatif le vecteur sera de sens contraire au vecteur .